Közgazdasági Szemle, XLII. évf., 1995. 12. sz. (1118-1135. o.)

SIMONOVITS ANDRÁS

Simonovits András az MTA Közgazdaságtudományi Intézetének tudományos tanácsadója.

Még egyszer az optimális növekedésről

Mielőtt az eredmények ismertetésébe fognánk, röviden áttekintjük a szerteágazó irodalom néhány jellegzetes darabját. Részletesen TAKAYAMA [1974], 5. és 8. fejezet, KAMIEN-SCHWARTZ [1981] I. rész, 17. fejezet, valamint BLANCHARD-FISCHER [1989, 2. fejezet] tankönyve tartalmazza a tudnivalókat. A legmodernebb eredményeket BOLDRIN-MONTRUCCHIO [1986], valamint BOLDRIN-WOODFORD [1990] tartalmazza.

Kizárólag makromodellekkel foglalkozunk. Az 1. táblázatban három feltevés szerint osztályoztuk a modelleket: 1. a vizsgálat időhorizontja véges vagy végtelen; 2. a termelési függvény lineáris vagy konkáv; 3. a pillanatnyi hasznosságfüggvény lineáris vagy konkáv, s ez utóbbin belül gyengén vagy erősen konkáv (magyarázat később).

Ismert, hogy a közgazdasági modellek sokkal durvábban tükrözik a valóságot, mint például a fizika. Ez a tény egyeseket arra sarkall, hogy minél általánosabb és realistább feltevések mellett oldják meg a feladatot. Mások viszont szinte felszabadulnak, és azt hiszik, azt tehetik föl, amit akarnak. Ez a kettősség az optimális növekedés hazai és nemzetközi művelőinél is megmutatkozik.

A véges vagy végtelen időhorizont választása módszertani jellegű, mindkét megoldásnak megvan az erős és a gyenge oldala. Mi a továbbiakban a véges időhorizontú modellekre szorítkozunk, és csak utalunk a végtelen időhorizontú modellekre (CASS [1965] és KOOPMANS [1965]).

Ismert, hogy a leíró (nem optimalizáló) növekedési modellek kezdetben lineáris termelési függvényt tételeztek föl: HARROD [1939] és DOMAR [1946] modelljében a termelés a tőkével egyenesen arányos. Ismert, hogy az ilyen modellekben az egyensúly késélen táncol. SOLOW [1956] bevezette a neoklasszikus konkáv termelési függvényt, ahol az egyensúlyi pálya stabil, azonban a fejlődés korlátozott. A technikai haladás bevezetésével (SOLOW [1957]) a korlátlan növekedés ismét lehetővé vált.

A hatvanas évek elejétől kezdve a statikus modellekben már megszokott optimalizálás átterjedt a dinamikus modellekre is. Az úttörő TINBERGEN [1960] a matematikai kezelhetőség kedvéért az állandó időbeli helyettesítési rugalmasságú hasznossági függvényekre szorítkozott.

Mindenekelőtt értelmezzük a fogyasztás helyettesítési határrátáját és helyettesítési rugalmasságát. Adott hasznosságú fogyasztási pályákat mérlegelve, a helyettesítési határráta azt fejezi ki, hogy mennyivel kell csökkenteni az egyik időpontban a fogyasztást, ha egy másik időpontban egységnyivel növeljük. Hicks bevezette a helyettesítési rugalmasságot mint a helyettesítési határrátának a két fogyasztás hányada szerinti rugalmasságát. Feltevésünk szerint a második mutató kisebb, mint 1: a fogyasztás időbeli helyettesítése rugalmatlan.

Frisch 1931­es megfigyelésére hivatkozva, Tinbergen rugalmas helyettesítést tételezett föl (gyenge konkavitás). A továbbiak miatt érdekes, hogy bevezette a létfenntartási minimumot, amely alá a fogyasztás sohasem süllyedhet. Igazi közgazdászhoz méltóan végigelemezte az optimális megoldás nagyságrendjét, és elégedetlenül tette félre az eredményeket.

Rugalmasabbnak tűnik CASS [1965] és KOOPMANS [1965] feltételezése, ti. a fogyasztás határhaszna a -­hez tart, ha a fogyasztás nullához tart: erős konkavitás. Mint a táblázatból látható, az említett szerzők konkáv termelési függvénnyel és végtelen időszakkal dolgoztak.

Mások kevésbé törődtek a hasznosságfüggvények megválasztásával. Számomra meglepő módon az optimális növekedéselmélet egyik klasszikusa, SHELL [1967] cikkében lineáris hasznosságfüggvénnyel dolgozott. A nem sokkal korábban született optimális folyamatok elméletét (PONTRJÁGIN ÉS SZERZŐTÁRSAI [1961]) alkalmazva a következő eredményt kapta: az elemzési időszak első szakaszában érdemes maximálisan, a másodikban viszont minimálisan beruházni. Még azt a fáradságot sem vette magának, hogy a beruházási hányadot az elvileg lehetséges [0,1] intervallumnál szűkebbre, például [0,05; 0,4]­re szabja. Talán azért választotta a lineáris célfüggvényt, mert éppen ez az az eset, amikor a klasszikus variációszámítás már nem érvényes? A makrohasznossági függvény linearitása azonban még első közelítésként sem engedhető meg. (Kenyeret, energiát és más árukat-szolgáltatásokat mindennap fogyasztanunk kell!) Korábban hasonló hasznosságfüggvényt alkalmazott SRINIVASAN [1964] és UZAWA [1964], igaz, kétszektoros modellben.

S ezzel elérkeztünk Magyarországra. A magyar szakirodalomban VIRÁG [1969], KOVÁCS-VIRÁG [1981], valamint BANAI-LUKÁCS [1987] foglalkoztak az optimális növekedés kérdésével. Mindhárom forrás az irreális lineáris hasznosságfüggvénnyel dolgozott, s ezért közömbös, hogy lineáris, konkáv termelési függvényt vagy más, érdekes termelési szabályt tételezett föl. VIRÁG [1969] és KOVÁCS-VIRÁG [1981] SHELL [1967]­hez hasonló eredményt kapott; BANAI-LUKÁCS [1987] általánosabb eredményekhez is eljutott.

Ebben a cikkben Tinbergen és Koopmans gondolatait ötvözöm. Tinbergentől átveszem a véges időhorizontot, az állandó tőke/termelési hányadost és az állandó rugalmasságú hasznosságfüggvényt, Koopmanstól viszont a helyettesítési rugalmatlanságot.

Először a modellt ismertetem, majd az optimális megoldást. A nehézségek miatt az optimalizálást két lépésben mutatom be: az általános variációszámítási feladat keretében, illetve a Tinbergen-féle speciális feladatnál, de most erős konkavitást feltételezve. A bonyolultabb tételeket és levezetéseket, amelyekre a közgazdasági mondanivaló megértéséhez nincs szükség, a függelék tartalmazza. A cikk fő eredménye: ésszerűen korlátozva a tőkeállomány növekedését, a leszámítolási lábat (diszkontrátát) és a fogyasztás időbeli helyettesítési rugalmasságát, a közkeletű elképzelésnek megfelelő sima fogyasztási pályát kapunk.

A modell alapján - kellő óvatossággal -, a következő megállapítások tehetők a növekedéspolitikával kapcsolatban. 1. Ha sikerül csökkenteni a döntéshozók rövidlátóságát (melyet a modellben a leszámítolási láb fejezi ki), akkor a kezdeti fogyasztás csökkentése árán jelentősen növelhető a fogyasztás növekedési üteme. 2. Ha sikerül csökkenteni a jelenről a jövőre halasztott terheket (ezt a modellben a záró tőkeállomány emelése fejezi ki), akkor az optimális beruházási hányad időbeli csökkenése mérsékelhető, illetve növekedésbe fordítható. Számpéldák és ábrák mutatják a különböző gazdaságpolitikai változatok kvalitatív és kvantitatív eredményeit. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a különböző optimális pályák összehasonlítására nincs matematikai módszer, továbbra is pusztán a józan eszünkre kell hagyatkoznunk.

A modell

A neoklasszikus elméletben a következő változókra lesz szükség: az egy főre jutó társadalmi termék = y; az egy főre jutó beruházás = i; az egy főre jutó fogyasztás = c; az egy főre jutó tőke = k, idő = t, amely 0 és T között fut. Föltesszük, hogy a gazdaság zárt. (Ha nyitott gazdaságot vizsgálunk, akkor a külső adósságot le kell vonni a gazdaság tőkeállományából!)

Általános modell

Tekintsük először az általános modellt!

ahol s(t) a pillanatnyi beruházási hányad, amely értelemszerűen 0 és 1 közé esik. (A valóságban sokkal szűkebb korlátok között kell maradnia, például 0,05 és 0,4 között.)

ahol ' az időszerinti derivált jele.

ahol U a pillanatnyi hasznossági függvény; növekvő, szigorúan konkáv és sima függvény; a leszámítolási láb.

Speciális modell

Az általános modell megoldása eléggé bonyolult, ezért szükségünk lesz egy speciális modellre is, amelyben mind a pillanatnyi hasznosság fogyasztás szerinti rugalmassága (), mind a tőke/termelés hányados állandó:

ahol A a tőke/termelés hányados reciproka, röviden: tőkefajlagos.

Szükségünk lesz a fogyasztás időbeli helyettesítési rugalmatlanságát mutató értékre, amely időben additív hasznosságfüggvény esetén egybeesik a relatív kockázatkerülési együtthatóval:

Ujjgyakorlatként fölírjuk az állandó beruházási hányadhoz tartozó növekedési ütemet, amely a tőkefajlagos és a beruházási hányad szorzata:

Az optimális megoldás

Az optimális pálya meghatározása

Az éppen 300 éves születésnapját ünneplő variációszámítás segítségével az optimális növekedési pályára egy bonyolult differenciálegyenlet­rendszer adódik (lásd Függelék, F7-F8. egyenletek), amelynek általában nincs zárt alakú megoldása. Az általunk tanulmányozott speciális esetben azonban egy síkbeli lineáris differenciálegyenlet­rendszert kapunk, állandó együtthatómátrixa reducibilis: (F9)-(F10). Ezért az egyenletek megoldása különlegesen egyszerű:

1. tétel. Feltéve, hogy teljesülnek a működőképességi feltételek, az optimális növekedési pálya a következő:

Megjegyzés. Látható, hogy a k₀ kezdőfeltétel mellett a k_T zárófeltétel is fontos szerepet játszik az optimális pálya meghatározásában. A puristákat ez zavarhatja, s inkább beolvasztják k_T­t az (5) célfüggvénybe:

ahol () valamilyen növekvő sima függvény. Mi megmaradunk az eredeti variációs feladatnál.

Működőképességi feltételek

Eddig nem elemeztük a 0 s (t) < 1 működőképességi feltételeket. Az

összefüggés értelmében a k(t) / c(t) hányados alakulása a döntő. Lássuk először a tőkeállomány képletét:

A működőképesség biztosítására három feltevésre lesz szükségünk:

1. feltétel: A relatív kockázatkerülési együttható nagyobb, mint 1: > 1 ( < 0).
2. feltétel: A leszámítolási láb kisebb, mint a termelés/tőkehányados: < A.
3. feltétel: A záró tőkeállomány nagyobb, mint a kezdő tőkeállomány; de kisebb, mint a nulla fogyasztással elérhető maximális érték. Pontosabban:

Megjegyzés. Aláhúzzuk, hogy k_T (16)­beli alsó korlátjától eltekintve, minden feltevésünk természetes. Az 1. feltevés azt mondja ki, hogy a fogyasztás időbeli helyettesítése korlátozott, például semmilyen optimális fogyasztási pálya nem tartalmazhat nulla fogyasztási pontot. (Figyelemre méltó, hogy Tinbergen Frisch 1931­es adataira hivatkozva éppen az ellenkező feltevést mondja ki, és nem tudja elfogadni saját paradox eredményét!) A 2. feltevés empirikus jellegű: mivel néhány század, A pedig néhány tized, < A. A 3. feltevésbeli felső korlát nem engedi, hogy a nulla fogyasztás mellett elérhető tőkefelhalmozást vagy annál többet tűzzünk ki célul. Az alsó korlát nehezen áttekinthető, a bizonyításból származik. A könyebb érthetőség kedvéért megjegyezzük, hogy min k_T értéke k₀ és k* = k₀e^T közé esik, k* értéke függ ­tól és T­től.

Megfogalmazzuk és bebizonyítjuk a cikk fő eredményét:

2. tétel. Tegyük föl, hogy az 1-3. feltevéshármas teljesül.

a) Az (1)-(8) speciális felhalmozási feladatnak van megengedett lokális optimuma, amely egyben globális optimum.
b) Az optimális fogyasztás időben nő.
c) Minél nagyobb a leszámítolási láb vagy a kockázatkerülés (azaz minél kisebb az időbeli helyettesítés rugalmassága), annál nagyobb a kezdőfogyasztás és annál kisebb a fogyasztás növekedési üteme.
d) Ha k_T= k*, akkor az optimális beruházási hányad, s(t) állandó. Ha k_T > k*, akkor s (t) nő; ha k_T < k*, akkor s(t) csökken.

Bizonyítás. a) Ha létezik lokális optimum, akkor azt a fenti levezetésből következően a megadott módon kell meghatározni. Igazolni kell viszont a pozitivitási feltételek teljesülését. (14)­be be kellene helyettesíteni (11)­et és (15)­öt, de ez meglehetősen fáradságos lenne. Ehelyett más, ekvivalens feltételeket vizsgálunk.

c₀ pozitivitása: (13) jobb oldalán a tört mindig pozitív. c₀ pontosan akkor pozitív, ha k_T < e^ATk₀ teljesül.

k'(t) pozitivitása: Deriváljuk (15)-öt!

Közös nevezőre hozzuk és összevonjuk a jobb oldalt, majd fölírjuk a k' (t) > 0 feltételt. A pozitív nevezőt elhagyva:

A g(t) függvény deriválásával belátható, hogy g'(t) > 0, azaz g(t) < g(T), ha 0 t < T. Tehát (18) teljesülésének szükséges és elégséges feltétele k_T > g(T)k₀. A g(t) függvény (18)­beli alakját használva, a (16)­beli alsó korlátot kapjuk.

k(t) pozitivitása: következik a k₀ > 0 és a k'(t) > 0 egyenlőtlenségpárból.

b) (12) és < A miatt > 0.

c) Minél nagyobb vagy , annál kisebb .

d) Következik a korábbi bizonyításokból.

Numerikus számítások

Az elmondottakat viszonylag egyszerű számpéldákon szemléltetjük. Már Tinbergent is zavarta, hogy nehéz a modellt jól kalibrálni. Két elemi összefüggést tarthatunk szem előtt: a (10)­beli = sA és a (12)­beli = (A - ) / képletet. Kiindulásul vegyünk évi 2 százalékos növekedést és 16 százalékos beruházási hányadot: a keletkező A = /s = 0,02/0,16 = 0,125 zavaróan alacsony érték! Néhány százalékos diszkontrátával dolgozva a helyettesítési rugalmatlanság meglehetősen nagynak adódik: például kerek számokra törekedve: = 0,065­höz = 3 érték tartozik. A k₀ =1/A = 8 választás biztosítja, hogy a kezdeti nettó termelés egységnyi: y₀ =1. Végül belőhetjük az állandó (0,16) beruházási hányadhoz tartozó zárótőke­állományt: T =10 év mellett k* = e^T k₀=9,77.

A 2. táblázat tartalmazza a futások változó paramétereit és jellemzőit.

Az 1. futás a vízmérték, s ehhez viszonyítjuk a többi futást: ₁= 0,065. A 2. futásnál majdnem felére csökkentjük a leszámítolási lábat: ₂= 0,035, de megtartjuk a korábbi zárótőkeértékeket: k_T(2) = k*. Ekkor a fogyasztás növekedési üteme 3 százalékra ugrik, a kezdő fogyasztás 3,6 százalékponttal csökkent, a záró fogyasztás viszont 6 százalékponttal nő. Zavaró viszont, hogy a kezdeti ambiciózusabb beruházási hányad 19,4 százalékról folyamatosan csökken, s az időszak végére a nyomorúságos 11 százalékra süllyed.

A 3. futásban visszatérünk a magas leszámítolási lábhoz: ₃ = 0,065, s ezzel az alacsonyabb, 2 százalékos fogyasztásnövekedéshez. Ugyanakkor 10 százalékkal megemeljük a zárófeltételben szereplő tőkeértéket: k_T(3)=10,75. Most a beruházási hányad még a 2. futásénál is magasabb értékről indul és folyamatosan nő 27,7 százalékig, de közben a fogyasztás egyre fokozódó mértékben elmarad az előző két változattól.

A 4. futásban a 2. és a 3. futás javításait egyesítjük: csökkentjük a leszámítolási lábat és növeljük a zárótőke-állományt. Igaz, hogy most a kezdő fogyasztás további 3,3 százalékponttal süllyed, de a végső fogyasztás már eléri az 1. futásbeli értéket. Eközben a beruházási hányad a 3. futásbeli középértéken stabilizálódik.

Látható, hogy még a javított modell sem tökéletes. Ha mégis elfogadjuk a modellezés eddigi eredményeit, akkor megállapíthatjuk: mind a leszámítolás csökkentésére, mind a zárótőkeállomány emelésére szükség van.

Függelék

Az általános variációszámítási feladat

A 0 s(t) 1 korláttól eltekintve, az (1)-(5) feladat egy klasszikus variációszámítási feladat, csak a felesleges változókat kell kiejtenünk.

Behelyettesítésekkel kiküszöbölhető i(t) és y(t):

A variációszámítás alaptétele szerint (lásd KÓSA [1973]) a lokálisan optimális pálya kielégíti az ún. Euler­Lagrange féle másodrendű differenciálegyenletet, amely az

(F7)-(F8) egy bonyolult, síkbeli differenciálegyenlet­rendszer, amely a peremfeltételek mellett általában egyértelműen megoldható (ARNOLD [1984]). Ezzel beláttuk az

F1. tételt (CASS [1965] és KOOPMANS [1965]). Ha az (1)-(5) általános felhalmozási feladatnak van lokális optimuma, akkor az kielégíti a nem lineáris (F7)-(F8) differenciálegyenlet­rendszert a (6) peremfeltételek mellett.

Sajnos a feladatról ilyen általánosságban keveset tudunk mondani. A nemzetközi szakirodalomban leggyakrabban a végtelen időhorizontú feladatot vizsgálják (T =). A (k⁰, c⁰) állandósult állapot (ahol c'=0 és k'=0) létezését föltéve vagy bizonyítva lokális stabilitást/instabilitást keresnek (KAMIEN-SCHWARTZ [1981] I. rész, 17. fejezet). Az általános eredmény a gyorsforgalmi pálya tétele. Végtelen időhorizont esetén k_T felesleges, és k₀ < k⁰ esetén k(t)k⁰, k₀ > k⁰ esetén k(t)k⁰.

A speciális variációszámítási feladat

Mi egy másik utat követünk. A cikk első részében bevezetett parametrikus függvénycsaládra szorítkozunk. Ekkor (7) és (9) miatt (c) = , valamint (8) szerint f'(k) = A.

Helyettesítsük be e specifikációkat (F7)-(F8)­be:

Ezzel beláttuk az

F2. tételt. Ha az (1)-(8) speciális felhalmozási feladatnak van lokális optimuma, akkor az kielégíti az (F9)-(F10) síkbeli lineáris differenciálegyenlet­rendszert a (6) peremfeltételek mellett.

A F2. tétel bizonyítása. (F9) külön megoldható: (11)-(12), c₀ meghatározását későbbre halasztjuk.

(F9) megoldásának ismeretében (F10) most egy egyváltozós inhomogén lineáris differenciálegyenlet, mely a megoldó szorzók módszerével oldható meg (ARNOLD [1984]). k' - Ak = - c mindkét oldalát beszorozzuk e^-At­vel:

Vegyük észre, hogy a bal oldalon e^-Atk(t) szorzat deriváltja áll. Integrálva mindkét oldalt 0 és t között,

Behelyettesítve a t = T értéket, adódik (13), majd visszahelyettesítve adódik (15).

Irodalom

ARNOLD, V. I. [1987] Közönséges differenciálegyenletek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.

BANAI MIKLÓS-LUKÁCS BÉLA [1987] Beruházási pálya és variációs módszerek. Közgazdasági Szemle, 34. 432-440. o.

BLANCHARD, O. J. - FISCHER, S. [1989] Lectures on MacroéeBOLDRIN, M.-MONTRUCCHIO, L. [1986]: On the Indeterminacy of Capital Accumulation Paths. Journal of Economic Theory, 40, 26-39. o.

BOLDRIN, M.- WOODFORD, M. [1990] Equilibrium Models Displaying Endogenous Fluctuations and Chaos: A Survey. Journal of Monetary Economics, 25,189-222. o.

CASS, D. [1965] Optimum Growth in an Aggregate Model of Capital Accumulation. Review of Economic Studies, 32, 233-240. o.

DOMAR, E. E. [1946] Tőkenövekedés, műszaki haladás és növekedés. Magyarul: Szakolczai (szerk.) [1963] 137-168. o.

HARROD, R. [1939] Egy esszé a dinamikus elméletről. Megjelent Szakolczai (szerk.) [1963] 169-192. o.

KAMIEN, M. I.-SCHWARTZ, N. L. [1981] Dynamic Optimization: The Calculus of Variations and Optimal Control in Economics and Management. North-Holland, Amszterdam.

KOOPMANS, T. C. [1965] On the Concept of Optimal Economic Growth. Megjelent: Semain d'Etude sur le Role de 1'Analyse Econometrique dans la Formulation due Plans de Dévelopment, Vatikán, A Pápai Tudományos Akadémia, I. kötet, 225-287. o.

KOVÁCS JÁNOS-VIRÁG ILDIKÓ [1981]: Szakaszos vagy egyenletes növekedés. Közgazdasági Szemle, 28. 675-686. o.

KÓSA ANDRÁS [1973]: Variációszámítás, Tankönyvkiadó Budapest.

PONTRJÁGIN, L. SZ.- BOLTYÁNSZKIJ, V. G.-GÁMKRELIDZE, R. V.- MISCSENKO, J. F. [1961/1968] Optimális folyamatok elmélete. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.

RAMSEY, F. [1928] A Mathematical Theory of Savings. Economic Journal 38, 543-559. o.

SIMONOVITS ANDRÁS [1993] Káoszelmélet és közgazdaságtan. Magyar Tudomány, 38, 503-511. o.

SOLOW, R. [1956] A Contribution to the Theory of Economic Growth. Quarterly Journal of Economics, 70, 65-94. o.

SOLOW, R. [1957]: A technikai változás és az aggregált termelési függvény. Megjelent: Szakolczai (szerk.): [1967] 122-140. o.

SRINIVASAN, T. N. [1964]: On a Two-sector Model of Growth. Econometrica; 32, 358-373. o.

SZAKOLCZI GYÖRGY (szerk.) [1963]: A gazdasági fejlődés feltételei. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest.

TAKAYAMA, A. [1974]: Mathematical Economics. Dryden, Hinsadale, IL.

TINBERGEN, J. [1960]: Optimum Savings and Utility Maximization over Time. Econometrica, 28, 481-489. o.

VIRÁG ILDIKÓ [1969]: Optimális felhalmozási pályák. Gazdasági fejlődés és tervezés. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 108-136. o.

UZAWA, H. [1964]: Optimal Growth in a Two-sector Model of Capital Accumulation. Review of Economic Studies, 31, 1-24. o.