Közgazdasági Szemle, XLII. évf., 1995. 4. sz. (358-386. o.)

SIMONOVITS ANDRÁS

Simonovits András az MTA Közgazdaságtudományi Intézetének tudományos tanácsadója.

Az együtt élő korosztályok modellcsaládja

Anélkül, hogy szőrszálhasogató lennék, fel kell hívnom a figyelmet egy terminológiai csúsztatásra: a tanulmányok többsége összemossa a nemzedék és a korosztály fogalmát. Például BALASKO-CASS-SHELL [1980] tetszőleges számú együttélő nemzedékről beszél, márpedig köznapi értelemben csak két­három­négy nemzedék élhet együtt. (Igaz, az angolban a generation jelenthet korosztályt is!) További problémát jelent, hogy a legtöbb tanulmány ún. kétnemzedékes modellt vizsgál (nincsenek gyerekek), s eltekint a nemzedéken belüli különbségektől (homogén nemzedék). A helyes megoldás nyilvánvalóan az, hogy annyi korosztályra (ideálisan évjáratra) osztjuk föl a népességet, amennyit az elemzés indokol. Erre klasszikus példát nyújt folytonos időkezelésnél YAARI [1965], TOBIN [1967], ARTHUR-McNICOLL [1978], ELBERS-WEDDEPOHL [1986], diszkrét időkezelésnél AARON [1966], GALE [1973], AUGUSZTINOVICS [1989] és [1992]. Saját írásaim közül a SIMONOVITS [1993], [1994a], [1994c], [1994d] forrásokat említem meg. Ekkor együttélő korosztályokról beszélünk, s angol rövidítésként az OLC-betűhármast (Overlapping Cohorts) javasolom.

További zavar forrása, hogy BALASKO-CASS-SHELL [1980] tétele szerint minden több korosztályos modell két korosztályosra redukálható, vagyis elegendőnek tűnhet az OLG vizsgálata. Csakhogy a tétel alkalmazói (például PETERS [1991]) gyakran elfelejtik, hogy a redukálásnál a fogyasztási cikkek halmaza megfelelően kibővül (vö. REICHLIN [1992]).¹

Most már megfogalmazhatjuk a cikk célját: viszonylag átfogóan tárgyalni az együttélő korosztályok néhány fontosabb kérdését. - Nem annyira bevezető, mint inkább összefoglaló cikkben.

A nehézségek már a jelöléseknél kezdődnek. Mivel megpróbálok egy olyan jelölésrendszert kidolgozni, amely viszonylag következetes és egyértelmű; az áttekintés folyamán meg kell változtatni az eredeti források számos jelölését. A változtatásokból adódó bonyodalmakért elnézést kérek.

Az ismertetendő modellcsalád közös jellemzője, hogy minden pillanatban legalább két (de inkább több) korosztály él együtt, melyeket például az általuk fogyasztott termék(ek) romlandósága együttműködésre ítél. Legáltalánosabb szinten a termékek száma tetszőleges, azonban az általunk vizsgált modellek mindegyikében csak egyetlenegy termék létezik. Ellentétben az OLG­modellcsaláddal, most tetszőleges számú korosztály együttélését vizsgáljuk, s a korosztályok tagjainak túlélési valószínűsége és keresete függ az életkoruktól. Ezeket a kiterjesztéseket csak olyan megszorítások mellett tudjuk megvalósítani, melyekre nem volt szükségünk az OLG modellcsalád esetében: a termelékenység növekedési üteme és a kamatláb kívülről adott, és a pályák szerkezete időben állandó vagy mind a kamatláb, mind a pálya ciklikus.

Már előző írásomban is említettem, hogy modellcsaládunkban a gazdaság általában azonos fogyasztókból áll, akiket egy reprezentatív fogyasztó képvisel (kivétel: CASS [1979]; BALASKO-CASS-SHELL [1980], AIYAGARI [1988] és GHIGLINO-TVEDE [1994]). A makroökonómiai folyamatok ilyenkor egy aktor optimalizálásából vezethetők le. (Ezt az általában kritikátlanul elfogadott feltevést alaposan bírálja KIRMAN [1992].)

Befejezvén az általános értelmezést, ismertetjük a dolgozat szerkezetét.

A homogén hasznosságfüggvény mellett vizsgáljuk egy nyitott gazdaság optimális fogyasztási pályáját. Bevezetjük a felosztó­kirovó (angol betűneve: PAYG) és a tőkefedezeti (angol betűneve: CR) rendszert, majd összehasonlítjuk a két rendszer által biztosított maximális jólétet. Az együttélő nemzedékek modelljében láttuk (BLANCHARD - FISCHER [1989] és SIMONOVITS [1994b] 12. tétel), hogy a felosztó­kiróvó rendszer akkor és csak akkor jobb, mint a tőkefedezeti rendszer, ha a gazdaság növekedési üteme nagyobb, mint a reálkamatláb (Aaron­elv). Eredetileg AARON [1966] tetszőleges számú korosztályra igazolta a tételt, de kizárta a korosztályok közti heterogenitást: adott időszakban minden dolgozó korosztályban azonosak a keresetek, és minden korosztályban azonos a fogyasztás. Keresztmetszeti profilok nyelvén szólva: vízszintes a kereseti és a fogyasztási profil. A Világbank legújabb tanulmánya is megismétli ezt a nagyon speciális eljárást (VILÁGBANK [1994]). Bevezetve a korosztályok közti heterogenitást és az optimalizálásból adódó időbeli helyettesítést, az Aaron­elv elveszti feltétlen érvényét (AUGUSZTINOVICS [1992]; SIANDRA [1993] és SIMONOVITS [1993], [1994b]). Ez egyben figyelmeztet is a hagyományos kétnemzedékes modell korlátaira.

Ezután a zárt gazdaságot modellezzük, figyelembe véve, hogy a társadalmi megtakarítás minden időszakban nulla: megengedettségi feltétel. A zárt gazdaságban megengedett (aranykori vagy kiegyensúlyozott²) stacionárius pályák (állandósult állapotok) létezésével és egyértelműségével foglalkozunk. Megmutatjuk, hogy ellentétben a klasszikus GALE [1973] cikk gyengén kockázatkerülő fogyasztóra vonatkozó eredményével és sejtésével, erősen kockázatkerülő fogyasztónál a kiegyensúlyozott állandósult állapot nem biztos, hogy létezik, s ha igen, akkor nem biztos, hogy egyértelmű (KIM [1983] és SIMONOVITS [1994c]). A kockázatkerülés kritikus értéke az a gyermekkornak és a nyugdíjaskornak a kereső korhoz viszonyított értékétől függ.

Sok együttélő korosztály esetében természetesnek tűnik, hogy az egyes korszakok hasznosságfüggvényei csak egy skalárszorzóban különböznek egymástól, ahol a skalárszorzó a leszámítolási tényező megfelelő hatványa. (Emiatt a szokás miatt diszkrét idejű modellekben erősebb leszámítolást kisebb - nem pedig nagyobb leszámítolási tényező képvisel.) AIYAGARI [1988] megmutatta, hogy egyenletesen pozitív keresetprofil, adott leszámítolás és kockázatkerülés mellett elegendően sok korosztály (Aiyagari pontatlan kifejezése szerint: hosszú élettartam) esetén minden megengedett stacionárius kamattényező közel lesz a klasszikus optimumhoz, a leszámítolási tényező reciprokához. Ez azonban önmagában semmitmondó, mert a. valóságban nincsenek hosszú életű, csak 70 éves vagy 840 hónapos élettartamú stb. fogyasztók. Elvileg előfordulhat, hogy Aiyagari következtetései semmilyen reális fogyasztóra nem érvényesek.

Majd röviden összefoglaljuk az endogén ciklusokra vonatkozó eredményeket. Az együttélő korosztályok modelljében, különösen diszkontált hasznosságfüggvények mellett, nehezebb endogén ciklusokat találni, mint a két korosztályos és különböző hasznosságfüggvényű GALE [1973] és GRANDMONT [1985] modellben (lásd SIMONOVITS [1994b]). Korábbi cikkéhez hasonlóan, AIYAGARI [1989] megmutatta, hogy pozitív keresetprofil, adott leszámítolás és kockázatkerülés mellett elegendő hosszú élettartam esetén nem is létezik megengedett 2-ciklus.

Mi a helyzet a közgazdaságilag releváns normális élettartamú fogyasztóknál? Két korosztály esetén nem is létezik kiegyensúlyozott 2­ciklus, és jelenleg semmilyen korosztályszám esetén nem ismert, hogy létezik­e, sőt széles körben a létezés kizárható. (AIYAGARI [1989] egyetlen számpéldája durva számolási hiba következménye!) A nagyon speciális aranykori ciklusok pedig mennyiségileg irreálisak: például 72 éves élettartam esetén hihetetlen erős leszámítolás és kockázatkerülés kell a ciklus létezéséhez, bár ezt REICHLIN [1992] az örökifjúság trükkjével (lásd alább) némileg elködösíti.

Végül összefoglaljuk a legfontosabb tanulságokat. Most csak megemlítjük, hogy az utóbbi időben két új irányzat is megjelent: 1. Az örökifjúság folytonos (BLANCHARD [1985]) és diszkrét idejű (REICHLIN [1992]) modellje furcsa középútként egy végletes esetet vizsgál. Egyrészt végtelen sok olyan korosztály él együtt, melyek halandósága független az életkortól (örökifjúság). Másrészt a korosztályok átlagkeresete általában exponenciálisan csökken. Ezek az egyszerűsítések lehetővé teszik a végtelendimenziós dinamikus rendszer tökéletes aggregálását és az OLG­ben vizsgált kérdések elegáns elemzését véges várható értékű, de bizonytalan élettartam mellett. 2. AUERBACH ÉS KOTLIKOFF [1987] szimulációs vizsgálatokkal képes dinamikusan elemezni egy korspecifikus eloszlásokból álló sokaságot.

A dolgozat végén összefoglaljuk a legfontosabb jelöléseket.

Együttélő korosztályok nyitott gazdaságban

Ebben a fejezetben tetszőleges számú együttélő korosztályt tanulmányozunk nyitott gazdaságban, ahol a társadalmi megtakarítás hiányát külső forrás fedezi vagy feleslege kívülre távozik. További jellegzetesség, hogy ezen terület kutatói (kivétel: GALE [1973]) hangsúlyozzák az állandó ütemű termelékenységnövekedést és a halálozási kockázatot. Igaz, ezekért az általánosításokért cserébe gyakran lemondanak a termelés leírásáról és az általános hasznosságfüggvények alkalmazásáról. Ekkor a kamatláb is kívülről meghatározott. További megszorítás, hogy állandó szerkezetű pályákat (más szóval: állandósult állapotokat) vizsgálnak.

Látni fogjuk, hogy a kétnemzedékes (valójában két korosztályos) OLG­feltevés közel sem olyan ártalmatlan, mint ahogy alkalmazói gondolják. Kizárja a fiatalabb és az idősebb dolgozók közti kereseti különbségeket, a fiatalabb és az idősebb fogyasztók közti különbségeket, végül a munkába lépés előtti fogyasztókat. (Az alapító SAMUELSON [1975J azzal érvelt a gyerekek fogyasztásának elhanyagolása mellett, hogy az sokkal kisebb, mint az öregeké.)

Együttélő korosztályok

A t­edik időszakban a népesség három nemzedékből áll: gyerekekből, dolgozókból és nyugdíjasokból.³ Mindegyik nemzedék több korosztályból állhat: L gyerekkorosztály, M-L dolgozó korosztály és D-M nyugdíjas korosztály, összesen D korosztály, melyeket i = 0, 1, 2,..., D-1­gyel indexelünk.⁴ Ha a hagyományos keretek között maradva, nem akarjuk a gyerekeket önálló fogyasztóként modellezni, akkor legyen L = 0. A t­edik időszakban B_t "csecsemő" születik (hagyományosan: kezdő munkás áll munkába), és közülük N_i,t+i = q_iB_i, személy éri meg a t + i­edik időszak végét: 1 q₀q₁ ... q_D-1 > 0. (A feltétel nélküli q_i túlélési valószínűségek időben változatlanok.) A teljes népesség létszáma N_t:

fogyasztóra jutó termeléssel (a termelékenységgel), közös növekedési tényezőjük g: w_t=gw_t-1.⁶

Jól ismert, hogy a korosztályi keresetek jelentősen változnak az életkorral. Legyen w_i,t az i­edik korosztály átlagkeresete a t­edik időszakban. Föltesszük azonban, hogy a keresetprofil időben állandó, azaz

wi,t= gwi,t-1, i = L,..., M -1.

(2.1)

Kényelmi okokból a gyerekeknek és a nyugdíjasoknak néha zéró keresetet tulajdonítunk:

wi, t = 0, i = 0,..., L-1 és M,..., D-1.

(2.2)

Jelölje c_i,t+i a t­edik időszakban született i­edik korosztály egy tagjának (t + i-edik időszakbeli) átlagos fogyasztását!

Hasznosságfüggvény

A reprezentatív fogyasztó fogyasztási pályáját úgy vezetjük le, hogy egy hasznosságfüggvényt maximalizálunk megfelelő költségvetési korlát mellett. Mivel az emberek élettartama véletlen változó (i), be kell vezetnünk a feltételes hasznosságfüggvényeket: U_i(c₀, c₁,..., c_i), ahol c₀, c₁,..., c_i jelöli az i + 1 hosszúságú életpálya fogyasztását. Ekkor a Neumann-Morgenstern-féle várhatóhasznosság függvény

ahol _i= q_i-1-q_i a halál valószínűsége i időszakos korban.

Föltesszük, hogy U_i-k szigorúan konkávak, következésképpen ugyanez áll U­ra is. Növekvő gazdaságban U­nak homotetikusnak (azaz egy homogén függvény növekvő függvényének) kell lennie, máskülönben a fogyasztás korszerkezete időben változna. De ezt nem lehet U_i-k homoteticitásából levezetni. Némileg erősebb feltevésre lesz szükségünk.

Feltesszük, hogy a feltételes hasznosságfüggvény­sorozat homogén, azaz léteznek olyan (- < < 1) és ₀,.._D-1> 0 állandók, hogy minden pozitív g > 0­ra teljesül

A (2.5)­ből látható, hogy homogén feltételes hasznosságfüggvény­sorozat esetén várhatóhasznosság­függvény homotetikus.

Optimális fogyasztási pálya

Azt az egyszerűsítő feltevést alkalmazzuk, hogy létezik tökéletes évjáradékpiac, amelyen minden ember eladhatja egy biztosítónak várható keresetáramát, és ennek fejében egy várható fogyasztási pályát vásárolhat. Élete során mindenkinek van vagyona, amely időnként lehet pozitív, negatív vagy nulla. Ezt á vagyont a már említett biztosító kezeli, amely minden időszakban kamatot fizet vagy számít fel r kamattényező szerint. A záró tiszta vagyon, az örökség nulla. Bár egy csecsemő a valóságban nem vehet föl kölcsönt, föltesszük, hogy egészen addig a szülei kezelik az adósságát, amíg nagykorú nem lesz.

Tekintsünk egy t­edik időszakban született korosztályt. Ekkor a következő költségvetési korlátot írhatjuk föl:

Valóban, az egyenlőtlenség bal és jobb oldalán a t­edig időszakban várható, az egész korosztályra és a teljes életpályára vonatkozó várható fogyasztás és kereset jelenértéke áll. B_t-vel osztva egyéni várható korlátot kapunk.

Optimális pályának azt a fogyasztási pályát nevezzük, mely maximalizálja a (2.5) várhatóhasznosság­függvény értékét a (2.6) költségvetési korlát mellett. Figyelembe véve (2.1)­et, (2.6) a következő alakba írható át:

A (2.7)­ből és U homoteticitásából (a jövedelemmel arányosan növő keresletből) adódik, hogy az optimális fogyasztási pálya minden korosztály számára azonos szerkezetű, csak korosztályonként g­vel szorzódik.

CRRA hasznosságfüggvények

Idáig a lehető legáltalánosabb hasznosságfüggvénnyel dolgoztunk, amely összhangban van növekedési feltevéseinkkel. Most ELBERS WEDDEPOHL [1986] nyomán olyan additív feltételes hasznosságfüggvényekre szorítkozunk, melyekben az időszaki hasznosságfüggvény független a véletlen időtartamtól. A jobb közgazdasági értelmezhetőség kedvéért a tagokat eleve súlyokkal írjuk föl: az időben változatlan leszámítolási tényező, f_i­1 az i korú önálló fogyasztóra jutó (fiatalkorú) eltartottak száma, amely L=0 esetén válik fontossá; ha L reális érték, akkor nincs szükség f_i-re, f_i=1:

Folytonos idejű modelljükben Elbers és Weddepohl levezették, hogy a hasznosságfüggvény additivitása és a homoteticitása ekkor csak az ún. CRRA (állandó relativ kockázati együtthatójú) függvénycsaláddal fér össze.⁸

Szerencsétlen módon a szerzők elmulasztották a súlyok felbontását túlélési valószínűségre, leszámítolásra és családnagyságra, ezért meglehetősen sokat kellett bajlódniuk a képletekkel. A gazdasági növekedés figyelembevételéhez szükség lehet egy {_i,j} pozitív számsorozatra, amellyel c_i,t-t hasznosságát korrigáljuk. Összefoglalva az elmondottakat: _i^-1=f_iⁱ jelöléssel ha0,­ , akkor

Figyeljük meg, hogy (2.14) kielégíti a (2.5) feltételt, azaz a CRRA­függvények homogének. Talán nem felesleges utalni arra, hogy mi a kockázat szerepe az elnevezésben. Arrow és Pratt (lásd ARROW [1970]) vezette be a Neumann­Morgenstern­hasznosságfüggvényekre a relativ kockázatkerülési együtthatót, amely durván szólva azt mutatja, hogy a fogyasztó vagyonához képest mennyit hajlandó fizetni, hogy egy kis kockázatot elkerüljön. Esetünkben arról van szó, hogy a fogyasztó mennyivel hajlandó az életpálya­fogyasztását csökkenteni, hogy a fogyasztásingadozásokat elkerülje. A (2.14) hasznosságfüggvény esetén ez az együttható a fogyasztástól függetlenül 1-.

Szükségünk lesz a következő jelölésekre:

1. tétel. CRRA­optimum (ELBERS-WEDDEPOHL [1986] (2.5.6) és SIMONOVITS [1993] 1. lemma). Az optimális pálya

Megjegyzés: A legegyszerűbb esetben a felnőttre jutó gyerekszám független az életkortól: f_i=f, a F profil vízszintes:_i=1, az F profil leszámítoló:_i=ⁱf Ekkor _i=^(1-)i, ezért a fogyasztás növekedési tényezője egyszerűn meghatározható:

Ahhoz, hogy a fogyasztás abszolút értelemben kiegyenlített legyen, a kamattényező reciprokával kell leszámítolni. Jelentős termelékenységnövekedés esetén ez célszerűtlen, ekkor a =g^1/(1-)/r a trendkövető leszámítolás.

Ahhoz, hogy élesíthessük általános eredményeinket, specifikálnunk kell a hasznosságfüggvényeket.

Leontief Rawls­hasznosságfüggvény

Először bevezetjük a kockázatmentes (helyettesítés nélküli) feltételes hasznosságfüggvény­sorozatot, amely a Leontief Rawls nevét viseli:

Itt _ja j­edik kori fogyasztás súlya, a {_j} sorozat a T pálya. Megfelelő normálásnál minél nagyobb a _j, annál fontosabb c_j.

A (2.20) képlet ugyanazt az optimumot adja, mint

Most nagyon egyszerűen meghatározhatjuk az optimális pályát (_j^-1c_j= ₀^-1c₀ vagy (2.19), =1­nél):

Cobb-Douglas­hasznosságfüggvény

Másodszor bevezetjük a Cobb-Douglas­hasznosságfüggvényt:

Most ismét nagyon egyszerűen meghatározhatjuk az optimális pályát, (2.19)­ből = 0­nál:

CES-hasznosságfüggvények

A (2.14) képletet normalizálhatjuk és egyesíthetjük (2.20)­szal és (2.23)­mal [CES-függvény]:

A mikroökonómiából jól ismert, hogy gyökeresen másképp viselkednek a gyengén ( > 0, azaz < 0) és az erősen kockázatkerülő fogyasztók ( < 0, azaz > 0). Az első esetben egy időszaki nulla fogyasztásnál a hasznosság véges, a másodikban mínusz végtelen. Ez a választóvonal általános hasznosságfüggvénynél is létezik, és definícióként is alkalmas. (Logika és tapasztalat szerint a fogyasztók erősen kockázatkerülők, de ez esetenként nem akadályozza meg a legkiválóbb elméket sem, hogy ellentétes feltevésben keressenek menedéket, lásd később 11. tétel.)

Két nyugdíjrendszer összehasonlítása

A két nyugdíjrendszer

A nyugdíjrendszerek két tiszta formájával foglalkozunk: a tőkefedezeti és a felosztó­kirovó rendszerrel; angol rövidítésük alapján CR­ és PAYG­rendszerrel. Tulajdonképpen a tőkefedezeti (CR) rendszert vizsgáltuk az előző pontban, ezért erről nem kell külön szólnunk.

Felosztó­kirovó rendszer

A felosztó­kirovó (PAYG) rendszer tanulmányozása hasonló, de bonyolultabb, mint a tőkefedezeti rendszeré. Induljunk ki abból, hogy a t­edik időszakban az i korúak száma B! qi n i. Felírva, hogy a társadalom összfogyasztása nem haladja meg az összkeresetét, adódik a következő korosztályok közti (keresztmetszeti) költségvetési korlát:

Az optimalizálás miatt a társadalmi keresztmetszeti korlátot egyéni életpályakorláttá akarjuk átírni, ezért föltesszük, hogy - az optimális tőkefedezeti pályához hasonlóan - a mérlegelendő felosztó­kiróvó fogyasztási profil is időben állandó. A később bevezetendő h változót használva indexként:

ci,t+i(h)=gci,t-1+i(h).

(3.2)

Vegyük észre, hogy míg (2.8) az optimumra vonatkozó eredmény, addig (3.2) a mérlegelt pályákra vonatkozó feltevés. Természetesen (3.2)­nél figyelembe vettük, hogy a hasznosságfüggvény homotetikus, és a jövedelmek minden időszakában g­szeresükre nőnek.

Tehát a felosztó­kiróvó rendszer olyan tőkefedezeti rendszernek tekinthető, amelynek a kamattényezője a gazdaság növekedési tényezője.

Optimális PAYG-pályának azt a fogyasztási pályát nevezzük, amely maximalizálja a várható (2.3) hasznosságfüggvényt a felosztó­kiróvó rendszer (3.4) költségvetési feltétele mellett.

Vegyük észre, hogy a (3.4) feltétel (2.7) megfelelője. Ezért az optimális PAYG megoldás az optimális CR megoldás megfelelője:

ci,t+i(h) = gtci(h),

(3.5)

2. tétel. Az x = r, h nyugdíjrendszerben a t­edik időszakban született i korú egyén optimális fogyasztása

ci,t+i(x) = gtci(x).

(3.6)

Az r = h aranykori kamattényező több szempontból is kitüntetett szerepet játszik. Az aranyszabályban szereplő helyett az "aranykori" jelzőt használjuk. Az aranykori esetben nemcsak a két optimális megoldás, de a két költségvetési tartomány is egybeesik. Figyeljük meg, hogy az optimális aranykori CR­pálya az optimális PAYGpályát adja!

Kölcsönfelvétel és vegyes rendszer

A valóságban majdnem lehetetlen biztosíték (például jelzálog) nélkül kölcsönt felvenni a jövőbeli jövedelem terhére. Mégis megengedjük a kölcsönfelvételt a tőkefedezeti rendszernél. Ha nem ezt cselekednénk, akkor nem tudnánk a gyereknevelést beilleszteni a tőkefedezeti rendszerbe, és további D-1 költségvetési feltétellel kellene bajlódnunk.

Hasonlóan, a valóságban a tőkefedezeti és a felosztó­kiróvó rendszer együtt él, sőt a felosztó­kiróvó rendszert magánmegtakarítások egészítik ki (lásd a BLANCHARD-FISCHER [1989] 3.4 alfejezet és SIMONOVITS [1994b]). Mégis kizárjuk a megtakarításokat a felosztó­kiróvó rendszer esetében, mert az optimális kevert rendszer vizsgálatakor furcsaságok lépnek föl: például akár a legjobb keresőidőszakban nagyon nagy kölcsönt kell fölvenni, és még nagyobb társadalombiztosítási hozzájárulást kell befizetni, hogy valamicskét javuljon a tiszta rendszer.

Összehasonlítás

A két optimális nyugdíjrendszert homogén hasznosságfüggvénynél hasonlítjuk össze. Szokás szerint a rendszereket a közvetett hasznosságfüggvénnyel értékeljük, amely a hasznosságfüggvény feltételes maximuma. Homoteticitás miatt a t = 0 időszakra szorítkozhatunk:

I (x) = U [c0(x),..., cD-1(x)], x = r, h.

(3.7)

Azt mondjuk, hogy a felosztó­kiróvó rendszer jobb, mint a tőkefedezeti rendszer, ha a felosztó­kiróvó rendszer feltételeshasznosság­maximuma nagyobb, mint a tőkefedezeti rendszeré:

I(h) > I(r)

(3.8)

AARON [1966] nem optimalizált, de mi tulajdoníthatunk neki egy alkalmas hasznosságfüggvényt, és majd megmutathatjuk (9. és 10. b tétel), hogy a keletkező I(x) függvény az egész (0, ) szakaszon növekvő. Ekkor (3.8) ekvivalens az ún. Aaron­feltétellel, azaz, hogy a termelés növekedési tényezője nagyobb, mint a kamattényező:

h > r.

(3.9)

A következőkben azt vizsgáljuk, hogy mikor teljesül (3.8), vagy mikor ekvivalens (3.8) és (3.9): ez az Aaron­elv. Először az Aaron­elvet két irányban általánosítjuk tetszőleges homogén hasznosságfüggvényre: a megszorítóbb tételt erősnek, az enyhébbet gyengének nevezzük.

3. tétel (Általános erős Aaron­elv). Tegyük föl, hogy az OLC­beli I(x) közvetett hasznosságfüggvény az egész (0, ) szakaszon növekvő. A felosztó­kiróvó rendszer akkor és csak akkor előnyösebb, mint a tőkefedezeti rendszer, ha h > r fennáll.

A gyakorlatban a fogyasztási pályát a fogyasztási profilból a g termelékenységnövekedési tényező segítségével származtatjuk, míg a demográfiai változóknál az n tényező játssza e szerepet. Ezért gyakran rögzítjük n­t és g­t, azaz h­t és r­t változtatjuk. Ez vezet a 3. tételt általánosító

4. tételhez (Általános gyenge Aaron­elv). Tegyük föl, hogy h rögzített, és az OLC­beli I(x) közvetett hasznosságfüggvényre teljesül

I(r) < I(h), ha r < h és I(r) > I(h), ha r > h.

(3.10)

(3.10) esetén a felosztó­kiróvó rendszer akkor és csak akkor előnyösebb, mint a tőkefedezeti rendszer, ha h > r fennáll.

Megjegyzés. 1. Az 1. ábrán a szaggatott (növekvő) a 3. és a csillagos görbe a 4. tételt szemlélteti. Valóban, ez utóbbi görbe is csak az r = h triviális pontban metszi az I = I (h) =1 egyenest. A folyamatos görbe viszont egy olyan esetet mutat, amelyre sem az erős, sem a gyenge állítás nem érvényes. (A gyermek, junior és senior jelzők jelentése majd az l. példában válik érthetővé.)

2. D = 2 és w₁ = 0 esetén I(x) nő, azaz a 3. tétel magában foglalja SIMONOVITS [1994b­ben ismertetett] 3. tételét.

Fiatalos és érett profilok

Első közelítésben a kitüntetett aranykori gyök környezetében vizsgáljuk a közvetett hasznosságfüggvény viselkedését.

Előkészítve a keresztmetszeti elemzést, bevezetjük a p_i = q_in ^-i, i = 0, l,..., D-1 elemű P profilt. Bevezetjük még AUGUSZTINOVICS [1992] fiatalos, érett és szimmetrikus PCW profilját (vö. Gale klasszikus, samuelsoni és egybeeső esetével). Mindenekelőtt az átlagos kereseti kort definiáljuk mint a dolgozók átlagos korát, amelyet a korosztály súlya⁹ és keresete szerint súlyozunk:

Másodjára az átlagos fogyasztási kort definiáljuk mint az emberek átlagos korát, amelyet a korosztály súlya és fogyasztása szerint súlyozunk:

Most már beszélhetünk fiatalos, érett és szimmetrikus PCW profilról, ha az átlagos kereseti kor az átlagos fogyasztási kornál nagyobb, kisebb, illetve vele egyenlő:

vagy > , vagy <, vagy =.

Megjegyzés. Könnyű belátni, hogy az OLG­re bevezetett SIMONOVITS [1994b] (7) definícióval összhangban van az általánosabb definíció. Valóban D = 2 esetén = c₁ és = w₁.

Vizsgálatainkban vízmértékül szolgálhat egy speciális eset: a vízszintes QCW profil, ahol a kereseti és a fogyasztási profil vízszintes:

Ekkor (3.14-(3.15) szerint S2 = (L + M 1)/2 és r= (D-1)/2. Fiatalos profilnál L + M > D, azaz L > D-M: a gyermekkor tovább tart, mint a nyugdíjaskor. Az érett profilnál pedig fordítva.

Bizonyítás nélkül megemlítjük az

5. tételt (Lokális OLC változat, vö. Arthur és McNicoll (1978J). Tegyük föl, hogy az U várható hasznosságfüggvény differenciálható, az optimum belső pont és rh. a) Érett QCW profil esetén a felosztó­kiróvó rendszer akkor és csak akkor előnyösebb, mint a tőkefedezeti rendszer, ha h > r; b) fiatalos QCW­profil esetén a fordítottja á1l; c) szimmetrikus QCW profilra, ha I(x) konkáv, akkor a felosztó­kiróvó rendszer lokálisan előnyösebb, mint a tőkefedezeti rendszer, ha konvex, akkor fordítva.

Megjegyzések: 1. Egy öregedő népesség is lehet "fiatalos". ARTHUR-MCNICOLL [1978] szerint a profil általában fiatalos, tehát az Aaron­elv általában nem érvényes.

2. Az 5. tétel a SIMONOVITS [1994b] 3. tételt általánosítja D = 2­ről tetszőleges D­re, de csak az aranykor megfelelő környezetében.

CRRA­hasznosságfüggvény

A 3., a 4. és az 5. tételsor egyrészt nagyon általános, mert tetszőleges közvetett függvényre mond ki állításokat. Ugyanakkor nem az adottnak tekintett hasznosságfüggvény, hanem rögtön feltételes maximuma szerepel benne. A továbbiakban olyan feltételt keresünk, amely magáról a hasznosságfüggvényről szól, még ha ehhez a CRRA­specifikációt is kell választanunk.¹⁰

A tárgyalást egyszerűsítendő, az életpályákat profilokkal helyettesítjük

A W (r) = W⁰ (z) és C (r) = C⁰(z) helyettesítéssel (3.16)-(3. 17) a következő alakot ölti:

egyenletekkel normalizálva teljesül W⁰(1) =1 és C⁰(1) = C⁰(1) =1. Bevezetvén a H⁰(z)=W⁰(z)/C⁰(z) függvényt, H⁰(1) = H⁰(1) = 1.

Az optimális fogyasztási profil képlete

ci,0(z)=i,0H0(z).

(3.23)

H⁰ segítségével a (3.8) - a felosztó-kiróvó rendszer jobb, mint a tőkefedezeti rendszer - feltétel profilra is megfogalmazható:

H0(z) < H0(1).

(3.24)

Bevezetjük a nem növekvő F/T profil fogalmát:

Megjegyzés: A (3.25) teljesül, ha fennáll az egyszerűbb

m+1 m és m+1 m+1, m=0,.. D-2

(3.26)

feltétel (például leszámítolás korral növekvő család).

Csebisev algebrai egyenlőtlensége (HARDY ÉS SZERZŐTÁRSAI [1952]) alapján viszonylag egyszerű számolással igazolható a

6. tétel (SIMONOVITS [1993]). Ha az F/T pálya nem növekvő, [(3.25)], akkor az átlagos fogyasztási kor nem növekvő függvénye­nek.

Ha van olyan, (0,1) szám, amelyre az FTW-pálya szimmetrikussá válik, azaz teljesül

0 =

(3.27)

T,? = S2,

akkor szimmetrizáló ­ről beszélünk. Ellenkező esetben ₀ = 0-0 vagy 1+ 0 értéket írunk, aszerint, hogy ₀ < vagy ₁ > . Az 5. tétel alapján bebizonyítottuk a

7. tételt. Tekintsünk egy nem növekvő F/T pályát. a) 0 < < ⁰ esetén a felosztó­kirovó rendszer akkor és csak akkor lokálisan jobb, mint a tőkefedezeti rendszer, ha r < 1. b), ⁰ < < 1 esetén a felosztó­kiróvó rendszer akkor és csak akkor lokálisan jobb mint a tőkefedezeti rendszer, ha r > 1.

Egyenlő hasznossági gyök

Az I(r) közvetett hasznosságfüggvény globális elemzésénél szükségünk lesz az egyenlő hasznossági gyökökre, amelyek az

I (r*) = I (h)

(3.28)

egyenletnek az r = h triviális gyöktől különböző gyökei.

Megjegyzés: természetesen a triviális gyök is egyenlő hasznossági gyök, ha kétszeres gyök, azaz ha I'(h) = 0 (szimmetrikus profil).

Általánosan semmit sem tudunk az egyenlő hasznossági gyökök számáról és elhelyezkedéséről. Legyen a h­hoz legközelebbi bal és jobb oldali gyök r_L, illletve r_R. Ha ilyen gyök(ök) nincs(enek), akkor legyen r_L = 0 vagy r_R = .

A 4. és az 5. tételt kombinálva adódik a

8. tétel (Egyenlő hasznossági gyökök). Az 5. tétel lokális eredményei kiterjeszthetők az (r_L, r_R) szakaszra.

Leontief Rawls­hasznosságfüggvény

Míg a lokális elemzésnél a CRRA­függvényeknek egy széles alosztályára vannak eredményeink, globális vizsgálatnál csak a két legegyszerűbb hasznosságfüggvényekre sikerült dűlőre jutnunk. Itt csak a Leontief Rawls­hasznosságfüggvénnyel foglalkozunk részletesebben.

A (2.20) és a (2.22) összevetéséből és a (3.7) alapján

I (x) = H (x).

(3.29)

A Leontief Rawls­hasznosságfüggvény esetén nincs is szükség a közvetett hasznosságfüggvényre, mert (2.22) szerint ha valamelyik korban (például a kezdő korban) a felosztó­kiróvó rendszer nagyobb fogyasztást ad, mint a tőkefedezeti rendszer akkor minden korban ugyanez a helyzet [H (h) > H (r)]. Más hasznosságfüggvény esetén azonban nem ilyen egyszerű az összehasonlítás.

Visszatérünk az Aaron által eredetileg bevezetett vízszintes QCW-profilokhoz,

illetve az azt generáló QTW profilokhoz. A T profilt vízszintesnek nevezzük, ha

i,0 =0,0 ,i =1,...,D-1.

(3.30)

A QTW profil vízszintes, ha a T és a QW profil vízszintes. Most már saját nyelvezetünkön megfogalmazhatjuk a

9. tételt (eredeti )Aaron­tétel [1966]. Vízszintes gyermektelen QTW profil esetén a felosztó­kiróvó rendszer akkor és csak akkor előnyösebb, mint a tőkefedezeti rendszer, ha teljesül a h > r Aaron feltétel, azaz

z< 1.

(3.31)

A bizonyítás azon alapul, hogy H⁰(z) növekvő függvény.

A 9. tétel általánosításához szükségünk lesz két speciális tulajdonságra: Egy TW profil GBR­tulajdonságú, ha van olyan L* és M* természetes szám, (L L* < M* M), hogy

Egy TW profil BR tulajdonságú, ha (3.32-(3.33)­ban L* = 0 áll.

Megjegyzések: 1. A GBR­tulajdonság azt jelenti, hogy a kereset/súly hányadossorozat eleje és vége 1 alatti, a közepe viszont 1 fölötti.

2. Vízszintes TW­profiloknál L* = L és M* = M, azaz vagy GBR, vagy BR­profilok attól függően, hogy L pozitív vagy nulla.

3. A GBR­ vagy BR­profiloknál a P­profil semmilyen szerepet nem játszik, mutatva, hogy milyen erős megszorításokról van szó.

Vezessük be a z* = r* /h jelölést! A profilok típusa és az egyenlő hasznossági gyökök száma közötti összefüggések alapján igazolható a

10. tétel (vö. Augusztinovics [1992] 5. pont).
a) GBR profil esetén a felosztó­kiróvó rendszer akkor és csak akkor jobb, mint a tőkefedezeti rendszer, ha a következő három alternatív feltétel közül az egyik teljesül:

vagy z < 1 vagy z > z* (> 1) érett PCW profilnál,	(3.34)
vagy z < z* (< 1) vagy z > 1 fiatalos PCW profilnál,	(3.35)
z 1 szimmetrikus PCW profilnál.	(3.36)

b) Minden BR PTW profil érett és (3.34) ál1 z*=­nel.

Megjegyzés: E pont végén még visszatérünk arra, hogy mi történik, ha a TW profil se nem BR, se nem GBR­tulajdonságú..

Bizonyítás: A 8. tétel értelmében azt kell igazolnunk, hogy H⁰(z*)=1 egyenletnek 0 vagy 1 gyöke van. Az F₀(z) = W⁰(z } - C⁰(z) jelölés segítségével H⁰(z*) = 1 ekvivalens F⁰(z*) = 0­val. Descartes előjelszabályát használjuk föl: egy valós együtthatós polinomnak legfeljebb annyi pozitív gyöke van, mint az együtthatók előjelváltásainak száma (PÓLYA-SZEGŐ [1982]). A BR és a GBR tulajdonságok esetén ez utóbbi rendre 1 és 2.

A legegyszerűbb eseten szemléltetjük mondandónkat:

1. példa. Legyen egy gyerek (junior), egy dolgozó (senior) és egy nyugdíjas korosztály, minden egyén három időszakot él! Mind a népesség, mind a termelékenység stagnál. A hasznossági függvényben minden korosztály fogyasztása azonos súlyú.

Ekkor a felosztó­kiróvó és a tőkefedezeti rendszer fogyasztása rendre

Elemi számolással belátható, hogy c_i(h) > c_i(r) (i = 0, 1, 2), ha z^-2+ (1-3w₁)z^-1+ 3w₁-2 > 0. Mivel az egyik gyök 1, a másik gyök könnyen kiszámítható a gyökök és együtthatók közti összefüggésből: z*=1/(3w₁-2)₊. Könnyen belátható, hogy a felosztó­kiróvó rendszer jobb, mint a tőkefedezeti rendszer, ha

a) z < 1, ha 0 < w₁ < 2/3 (senior, nincs pozitív gyök)
b) vagy z > z*(> 1) vagy z < 1, ha 2/3 < w₁ < 1 (junior)
c) z l, ha w₁=1 (gyerek).

Az 1. ábrán rendre a w₁ = 0,2; 0,4; 1 eset jelenik meg.

Megjegyzések: l. A 10b. tétel a 9. tétel általánosítása vízszintes gyermektelen QTW profilokról BR- és TW profilokra.

2. GALE [1973] nyomán sokan tanulmányozták a már fentebb vizsgált másik alapvető hasznosságfüggvényt, a Cobb-Douglas függvényt (lásd még a következő fejezetet). AUGUSZTINOVICS [1992] és SIMONOVITS [1994a] bemutatja a két kitüntetett eset közti dualitást.

3. Noha az Aaron­elv igaz akármilyen gyerektelen vízszintes TW-profilra a Leontief-Rawls­hasznosságfüggvénynél, a Cobb-Douglas­hasznosságfüggvény esetén még sem mindig igaz: az L = 0 és a (D-1)/2 = < M- 1 feltétel nem teljesül, például M = 3 és D = 4 esetén (SIMONOVITS [1994a]).

Állandósult állapotok a zárt gazdaságban

Megengedett állandósult állapotok

Eddig kívülről adottnak tekintettük a kamattényezőt, és figyelmen kívül hagytuk a fogyasztás és a jövedelmek keresztmetszeti egyensúlyát. Ez nyitott, kis gazdaság esetén megengedhető feltevés, de nagy, zárt gazdaság esetén már nem. A jelölés egyszerűsítése érdekében a továbbiakban eltekintünk mind a termelékenység, mind a népesség növekedésétől, valamint a halálozási kockázattól: g = 1 és n = 1, azaz h = l, illetve q_i = 1. Ekkor w_i,i helyett az egyszerűbb w_i jelölést alkalmazzuk. Ebben a pontban bekapcsoljuk a megengedettségi feltételt. Azaz a felosztó­kiróvó rendszernél bevezetett keresztmetszeti egyensúlyt követeljük meg [(3.4)]:

Létezés és egyértelműség

A már bevezetett erősen és gyengén kockázatkerülő fogyasztó megkülönböztetésre most lesz igazán szükség. Mindenekelőtt szükségünk lesz egy KIM [1983]­tól származó, a keresetek regularitását biztosító feltevésre: a dolgozó az utolsó [D-1] időszak előtt munkába áll és a második [1] időszak előtt nem megy nyugdíjba. Képletben:

L < D-1 és M > 0.

(4.2)

A (4.1) átrendezéséből adódik a megtakarítás makroegyensúlya:

A triviális r = 1 gyököt aranykorinak nevezzük, az esetleges többi gyököt pedig kiegyensúlyozottnak.

11. tétel. (Gale (1973J, Lemma és 7. tétel). Ha a kereseti pálya reguláris, a fogyasztó gyengén kockázatkerülő és hasznosságfüggvénye növekvő, akkor mindig létezik legalább egy kiegyensúlyozott kamattényező.

Bizonyításvázlat: A (4.2) regularitási feltétel és a gyenge kockázatkerülés miatt c₀(0) = és c_D-1() = , azaz

S (0) =- és S () =-.

(4.4)

Mivel S(1) = 0, Bolzano­tétel alapján az S függvénynek van legalább egy nem triviális gyöke.

Gale megkockáztatta az

1. sejtést (Gale (1973J, 34. o.). A 11. tétel feltevései esetén rendszerint pontosan egy kiegyensúlyozott kamattényező és fogyasztási pálya létezik.

Megjegyzések: 1. A 10. tétel bizonyításával kapcsolatban említett Descartes­tétel alkalmazásával Gale igazolta, hogy sejtése igaz a Cobb-Douglas­hasznosságfüggvényekre.

2. Valójában Gale a tételt és a sejtést tévedésből a némileg szigorúbb feltevés esetén mondta ki: legalább két pozitív kereseti időszak létezik (például az 1. példát feleslegesen kizárta). Ezen szerény megjegyzésen kívül KIM [1983] azt is észrevette, hogy GALE [1973] elmulasztotta kikötni: a fogyasztó gyengén kockázatkerülő! Sőt GALE [1974] teljes egzisztenciabizonyítása még saját kedvencére, a Cobb-Douglashasznosságfüggvényre sem érvényes.

KIM [1983] nyomán kiterjesztjük a 11. tételt az erősen kockázatkerülő fogyasztóra is, igaz, ismét CRRA­függvényekre szorítkozva. Legyen

12. tétel. (KIM [1983] és SIMONOVITS [1994c] 1. tétel). Legyen a kereseti pálya reguláris, a fogyasztó erősen kockázatkerülő ( > 0) és CRRA hasznosságfüggvényű. Ha vagy 0 < ₁ vagy ₂ < < 1, akkor mindig létezik legalább egy kiegyensúlyozott kamattényező és fogyasztási pálya. Ha ₁ < < ₂ (ablak), akkor vagy nem létezik kiegyensúlyozott kamattényező, vagy több is létezik.

Megjegyzések. l. Vegyük észre, hogy az ablak definíciójában két mennyiség minimuma és maximuma szerepel: a (gyerekkor + munkáskor)/élettartam és a (munkáskor + nyugdíjaskor)/élettartam.

2. A SIMONOVITS [1994b] által ismertetett, OLG­re vonatkozó 1. tételben mindkét kereset pozitív volt, s az egyetlen kiegyensúlyozott egyensúly az autarchia volt.

Bizonyításvázlat. Ahhoz, hogy (4.3) a kamattényező explicit függvénye legyen, helyettesítsük be (4.3)­ba (2.19)­et. A (2.15)­(2.18) jelölés mellé bevezetjük még a további jelöléseket:

Gale­nek (a Bolzano­tételen alapuló) bizonyítása a (4.9)-(4.10) párról szól, de érvényben marad a (4.1 l?-(4.12) párra is. Gond van azonban a "vegyes párosoknál": a (4.9?-(4.12) és a (4.10?-(4.11) párnál, mert a Bolzano­tétel nem alkalmazható. II

Mi a helyzet az egyensúly lokális stabilitásával? A SIMONOVITS [1994]­ben ismertetett, OLG­re vonatkozó 4. tétel általánosításaként heurisztikus alapon megkockáztatjuk a

2. sejtést. Ha az S(r) társadalmi megtakarítási függvény egy egyensúlyi pontban nő, akkor a rendszer lokálisan stabil; ha csökken, akkor instabil.

Ezen a helyen egy pillanatra visszatérhetünk az előző fejezetben tárgyalt nyílt gazdasághoz.

13. tétel (AUGUSZTINOVICS [1992] 10. állítás és SIANDRA [1993] 3. és 4. állítás). Tegyük föl, hogy egy optimális PCW profil érett. Az aggregált megtakarítás pozitív, ha 1­ < r < 1; és negatív, ha a 1< r < 1+ ,, ahol megfelelően kicsiny pozitív szám. Fiatalos profilra mindkét állitás megfordul.

Bizonyítás. Az állítás általánosan is igaz, itt azonban csak CRRA függvényre bizonyítjuk.

Megjegyzés: 1. A 13. tétel megvilágítja, hogy az 5. tételben szereplő felosztó­kiróvó rendszer előnye negatív makromegtakarítással társul.

2. Igaz a következő duális állítás: amennyiben egy felosztó­kiróvó rendszer mellett optimális PCW profil érett, akkor az egyéni örökség pozitív, ha r > 1; és negatív, ha r < 1.

Kim szellemes 3­korosztályos CRRA példát ad az állandósult állapot nem létezésére és több állandósult állapot létezésére. Ezúttal a reálisabb évjáratos bontást alkalmazzuk a 2. ábrán: D = 72, L = 20, M= 58, = 0,99. Mi az ablakra támaszkodva tételt is tudunk adni a több állandósult állapot létezésére.

14. tétel. Tegyük föl, hogy a 12. tétel feltevései és vízszintes FT profil mellett teljesül a következő alternatív feltételpár:

Ekkor legalább két kiegyensúlyozott kamattényező létezik.

Megjegyzés. Nyilvánvaló, hogy (a1) és (a2) rendre fiatalos vízszintes és érett tényleges FTW profilt képvisel. Hasonlóan, csak fordítva áll a helyzet (b)-nél.

Bizonyításvázlat. Az alapötlet egyszerű: (a)­nál az S(r) függvény globális trendje csökkenő. Igaz ugyan, hogy a 13. tétel szerint r = 1­ben vízszintes W és FT profil esetén a lokális trend is csökkenő. Azonban a 13. tétel szerint a kereseti profil átrendezésével ez az irány megfordítható, ezért több gyököt kapunk.

Felhasználva, hogy a Leontief Rawls­hasznosságfüggvénynél S₁(r) = 1-H_i(r), a 10. tétel alapján beláthatjuk, hogy nem csökkenő hasznosságfüggvényre a Gale-sejtés általánosítása akkor sem igaz, ha mindegyik kereset pozitív! Kimondhatjuk a

15. tételt (vö. Augusztinovics [1992] 5. pont). Leontief-Rawls­hasznosságfüggvényt feltételezünk.

a) Ha a TW profil BR tulajdonságú, akkor nincs kiegyensúlyozott kamattényező. b) Ha a TW profil GBR tulajdonságú, akkor pontosan egy kiegyensúlyozott kamattényező van.,
c) Minden I gyermekes, I nyugdíjas, 3 dolgozói korosztályos W profilhoz van olyan T profil, amelyhez három tetszőlegesen megválasztott kiegyensúlyozott kamattényező tartozik.

Megjegyzések. 1. Figyelemre méltó, hogy ellentétben a 12. tétellel, most nemcsak a kereset előjele, hanem nagysága is számít.

2. Felhívjuk a figyelmet az a) pont és a 10. b tétel kapcsolatára: az Aaron­tétel általánosításánál nincs kiegyensúlyozott állandósult állapot!

Bizonyítás. Legyen F₁ (r) = C₁ (r)S₁ (r). Ekkor

F₁(r) = 0 azonos H₁(r) = 1­gyel, ezért az a)-b) pont a 10. tétel folyománya. A c) pontban legyen r₁ = 1 és legyen r₂, r₃ és r₄ a három tetszőleges kamattényező. A gyökök és együtthatók összefüggése alapján van olyan negyedfokú polinom,

Megjegyzés. A Leontief Rawls­féle hasznosságfüggvényt kicsit perturbálva, könnyen kaphatunk olyan növekvő hasznosságfüggvényt (nevezetesen az állandó relatív kockázatú CRRA­függvények között), hogy a hozzátartozó F(r) polinomnak továbbra is több mint két gyöke van, azaz a Gale­sejtés általánosítása nem mindig igaz (SIMONOVITS [1994c]). Mégha a 12. tételben szereplő ablakon kívül is vagyunk.

Sok együttélő korosztály

Zavaró lehet, hogy a c) pontban egy, az általános D­korosztályos modell helyett egy 5 korosztályos modell szerepelt. Ezen némileg lehet segíteni, ha az 5 korosztály mindegyikét további k alkorosztályra bontjuk, és mind a kereseteket, mind a fogyasztási súlyokat egyenlően elosztjuk az alkorosztályok között. Ekkor a választott kamattényezők k­adik gyökei lesznek az új gyökök.

Ez átvezet az AIYAGARI [1988] által bevezetett aszimptotikus vizsgálathoz. Mint a bevezetésben már utaltunk rá, Aiyagari kiküszöbölte a hagyományos OLG­modelleknek azt a hibáját, hogy a szereplők aktív élettartama két elemzési időegységgel egyenlő. Furcsa módon azonban a korosztályok számának növelésével párhuzamosan nem az elemi időszak hosszát csökkentette, hanem a szereplők élettartamát növelte. Többletfeltevésként kimondta, hogy az életkori keresetek egyenletesen pozitívak.

Ebben a furcsa világban sikerült igazolnia, hogy a nem optimális kiegyensúlyozott, állandósult állapotok aszimptotikusan (a korosztályszám korlátlan növelésével) kihalnak, és az összes kiegyensúlyozott, állandósult kamattényező a leszámítolási tényező reciprokához tart. Bár Aiyagari aszimptotikus eredményei logikailag helyesek, közgazdaságilag értelmetlenek.

Figyeljük meg, hogy a keresetek egyenletes pozitivitását kimondó Aiyagari­feltétel milyen szigorú: nemcsak a már Gale által is hangsúlyozott nulla kereseteket zárja ki, de a normálás miatt még az autark egyensúlyt biztosító pozitív kereseti vektorsorozatot is:

Ekkor (2.19) szerint c_j(1) = e_j(D), j = 0, 1, ..., D-1, autark optimum, azaz r * = 1, függetlenül n­től.

Endogén ciklusok a zárt gazdaságban

Eddig kizárólag a nyitott vagy zárt OLC­gazdaság állandósult állapotaival foglalkoztunk. Ebben a fejezetben kísérletet teszünk a ciklusok leírására is. Az előző fejezethez hasonlóan eltekintettünk a növekedéstől és a halálozási kockázattól.

Nem stacionárius OLC­modell

Először jelezzük a nem stacionárius modell eltérését a stacionárius modelltől. Egyelőre adottnak vesszük a kamattényező­sorozatot: {r_t}_t=0. Mindenekelőtt szükségünk van a (t, t + i] időszak halmozott kamattényezőjére:

Rt, t+i = rt+1 ˇ ... ˇ rt+i, (Rt,t = 1)

(5.1)

Az {s_i,t+i}_i=0^D-1 megtakarítási pálya nulla örökséget hagy, ha

Az {s_i,t}_i=0^D-1 megtakarítási keresztmetszet (a t­edik időszakban) egyensúlyban van,

A stacionárius esethez hasonlóan szükségünk lesz a t­edik időszakban született fogyasztó leszámítolt életkeresetére (jelenértékére) és fogyasztási súlyára, amely most lényegesen függ a születési időtől:

Az 1. és a 11. tétel általánosításaként kimondható a

16. tétel. a) CRRA hasznossági függvény esetén a t­ben született j korú fogyasztó fogyasztása

A megengedett 2­ciklus modellje

Elvben az (5.7) feltételsereg (t =...-2, -1, 0, 1, 2,...) tetszőleges kezdeti feltétel esetén meghatározza a kamattényezőket, s (5.6) pedig a fogyasztási pályákat. Ez azonban számos nehézséggel jár, ezért megelégszünk a 2-ciklusok leírásával, ahol r_t+2= r _t Ekkor (5.4)-(5.6) szerint a többi sorozat is 2­ciklikus.

Az egyszerűség kedvéért föltesszük, hogy az élettartam és a munkába lépési kor páros, és a nyugdíjba meneteli kor páratlan:

L = 2L1, M -1= 2M1 és 2D1= D.

(5.8)

Szükségünk lesz a ciklusra számított halmozott kamattényezőre:

R2 = Rt-2, t

(5.9)

Ezen a ponton bevezetjük a gazdaság összes vagyonát, a t­edik időszak záróállományának jele A_t. Tegyük föl, hogy A_t szintén 2­ciklikus, azaz A₂ = A₀. Definíció szerint A_t+1 = r_t+1A_t, t= 0, 1, ezért A₂ = R₂ A₀, azaz (1-R₂)A₀ = 0, vagy R₂ =1 vagy A₀ = 0. E dichotómia alapján - a kettős gyöktől eltekintve - kiegyensúlyozott (más szóval nem monetáris) 2­ciklusról beszélünk, ha R₂ 1; aranykori (más szóval monetáris) 2­ciklusról beszélünk, ha R₂ = 1.

Sok időszakos modelleknél megszokott a következő feltevéspár:

1. A leszámítolástól eltekintve az időszaki hasznosságfüggvények azonosak [(3.30)].

2. A teljes hasznosságfüggvény az időszaki függvények leszámítolt összege: Bevezetve a = ^1-jelölést,

Szükségünk lesz a következő jelölésekre:

Páros és páratlan időszakokat megkülönböztetve, i = 2k + Q, ahol Q = 0 vagy 1, nagyon leegyszerűsödnek a képletek.

Rt-i, t = Rt-Q, t}R2-k

(5.12)

17. tétel. Ha van megengedett 2­ciklus, akkor van megoldása a következő egyenletrendszernek:

Aranykori 2­ciklus

A kutatók zömét követve, először az aranykori 2­ciklust vizsgáljuk. Szükségünk lesz a páros és páratlan időszakok vagyonának összegére:

Normálás miatt W⁰+ W¹ = 1.

18. tétel (SIMONOVITS [1994d]). Az {r₀, 1/r₀ } kamattényezőpár pontosan akkor aranykori 2­ciklus, ha r = r₀-ra teljesül:

F(r) = (W(1) + 2W(0))(r-1) + (r1- - r) = 0

(5.16)

Megjegyzés. A 18. tételnek önálló közgazdasági jelentése nincs, de hasznos ugródeszka lesz a 19. tételhez.

Innen számolással kapjuk (5. 16)­ot. Figyeljük meg, hogy F (r ^-1) = r ^-1F(r), azaz r mellett 1/r is megoldás.

Mikor van (5.16)­nak megoldása? E kérdés megválaszolására vezessük be a következő jelöléseket.

₁₁^1/(1-) és ₂₂^1/(1-)

19. tétel (Simonovits (1994d)). Akkor és csak akkor létezik aranykori 2­ciklus, ha teljesül a következő feltételrendszer:

W0 > 1/2,	(5.20)
min < < 1,	(5.21)
1 < < 2	(5.22)

Megjegyzés: Életkorral növekvő keresetek esetén W⁰ < 1/2, azaz nincs aranykori 2­ciklus.

Bizonyítás. F vagy konvex vagy konkáv a [0,1] szakaszon, F(0) < 0 és F(1) = 0. F(r) = 0 akkor és csak akkor teljesül, ha F'(1) < 0. Az (5.16) szerint F' (1) = (W⁽¹⁾ + W⁽⁰⁾²+ (1-2) < 0, ahonnan számolással adódik (5.20)-(5.22).

A feltételek látszólag függetlenek a korosztályok számától, illetve a munkába lépési és a nyugdíjba menési kortól. Megfelelő W⁽⁰⁾, és esetén tetszőleges D = 2D₁­ re van aranykori 2­ciklus. Ez pedig cáfolni látszik AIYAGARI [1989] mondanivalóját (nem a tételét), hogy sok korosztály együttélésekor nem lehetnek ciklusok.

Ha azonban elfogadjuk a fizikában bevált skálainvariancia elvét, akkor a leszámítolási tényezőnek függnie kell attól, hogy nemzedékben, évben vagy hónapban számolunk. Években számolva, rögzítsük az élettartamot T -ben, ekkor D korosztályra bontva az életpályát, teljesülnie kell a következő feltételnek:

= (T)T/D

(5.23)

Életszerű adatokkal azonban lehetetlen kitölteni a képleteket. Ahhoz, hogy ciklusokat kapjunk, hihetetlen nagy leszámítolást és kockázatkerülést kell feltételezni, s ekkor még nem is szóltunk a páros időszakok összkeresetének mesterségesen magas voltáról. Ebben az értelemben Aiyagarinak igaza van és Reichlin téved: reálisan kalibrált OLC­gazdaságban nincsenek aranykori 2­ciklusok.

Gyakorlatilag elegendő a következő észrevétel: 1/2 < W⁽⁰⁾ < 2/3 esetén _min > 0,97; tehát normális kereseti ingadozásoknál nagyon erős kockázatkerülés (és leszámítolás) szükséges az aranykori 2­ciklus létrejöttéhez.

Kivételt jelent a teljes kockázatkerülés esete:

20. tétel (SIMONOVITS [1994d]) Leontief hasznosságfüggvény (=1) esetén az {r, 1/r} pár tetszőleges r­re aranykori 2­ciklus.

Bizonyítás. Az (5.16)­ba behelyettesítve = 1 és = 1­et azonosságot kapunk.

Kiegyensúlyozott 2­ciklusok

Kiegyensúlyozott 2­ciklusokról azt sem tudjuk, hogy léteznek­e vagy sem. Bizonyítás nélkül megemlítünk két eredményt. Legyen L páros és M páratlan.

L = 2L1, és M= 2M1 + 1,

(5.24)

és legyen b_ka pozitív keresetek növekedési szorzója a páros időszakról a páratlanra:

21. tétel (SIMONOVITS [1994d]). Nem túl nagy kockázatkerülés esetén (0 < < _m) nincs kiegyensúlyozott 2­ciklus.

Megjegyzés. Ha a pozitív keresetek korosztályonkénti változása 50 és 100 százalék között marad (1 /2 < b_k < 2), akkor _m = 0,97, azaz az (5.24) feltevés esetén gyakorlatilag kizárt, hogy létezzék kiegyensúlyozott 2­ciklus. De semmit sem tudunk arról az esetről, ha az (5.24) nem teljesül!

Ellentétes irányú eredményt tartalmaz a

22. tétel (SIMONOVITS [1994d]). Tegyük föl, hogy a fogyasztó Leontief Rawlshasznosságfüggvényt maximalizál, minden páratlan időszak keresete megegyezik a megelőző páros időszak keresetével:

w_{2k+ 1} = w_2k, L₁ k M₁,,

és létezik kiegyensúlyozott állandósult állapot. Ekkor minden {r₀, r*²/r₀} pár 2­ciklus.

A 22. tételnek köszönhető, hogy számos közelítő kiegyensúlyozott 2­ciklust találtunk, ahol a megengedettségi feltételek jó közelítéssel teljesülnek.

2. példa. D = 72, L =18, M = 58, = 0,99, = 0,91. Ekkor a kiegyensúlyozott, állandósult kamattényező kb. 0,978 és a 0,978 r₀ 1 és az r₁ = 0,9656­r₀ egyenesen közelítő kiegyensúlyozott 2­ciklusok találhatók.

A fejezet végére érve megjegyezzük, hogy elképzelhető: több, egymástól eltérő típusú fogyasztó feltételezésével sikerül reális ciklust kapni. Figyeljük meg, hogy indexelve a kereseteket és a hasznosságfüggvényeket, az (5.7) helyére

képlet lép, ahonnan a többi képlet már levezethető. GHIGLINO-TVEDE [1994] vizsgálta a több típusú fogyasztó egymásra hatását, de 2­korosztályos soktermékes OLGmodellben.

Tanulságok

Fárasztó kirándulásunk végére érve, célszerűnek látszik a tanulságok összefoglalása (vö. SIMONOVITS [1994b]).

Az OLC­beli nyitott vagy zárt gazdaság modellje lemond a termelés endogén leírásáról, a kamattényező vagy kívülről adott, vagy a megtakarítási egyensúlyból határozható meg, és a vizsgált pályák szerkezete vagy időben állandó, vagy ciklikus. Ugyanakkor képes tetszőleges számú korosztály együttélését modellezni, melyeknek keresete, fogyasztása és halálozása korspecifikus. Ebben a keretben általánosan nem igaz a sokak által általánosnak hitt Aaron­elv! A kiegyensúlyozott, állandósult állapot létezése és egyértelműsége is ingatag. Leszámítolt CRRA­hasznosságfüggvények esetén a 2­ciklus létezését eddig csak kvantitatíve irreális esetekben tudtuk bizonyítani.

Az OLC­beli zárt gazdaság modellje (lásd ELBER - WEDDEPOHL, [1986]) képes leírni a termelés időbeli alakulását is, azonban csak azonos keresetű korosztályoknál és időben állandó szerkezetű pályákra szorítkozva.

Az örökifjú korosztályok modellje nemcsak a termelés időbeli alakulását képes leírni, hanem időben változó szerkezetű pályákat is modellez. Ehhez azonban az időben állandó halálozási kockázat mellett még egy feltevésre szükség volt: adott időpontban a korosztályok keresete azonos vagy exponenciálisan csökkenő.

Jelenleg a zárt gazdaság két homogén nemzedékes modellcsaládja páratlan népszerűséget élvez. Az OLG a makroökonómia igáslova, amelyet minden területen előszeretettel alkalmaznak. Szinte ritkaságszámba megy, hogy valaki is figyelmeztetné az Olvasót e megközelítés egyoldalúságaira. Az örökifjú korosztályok modellje is megkezdte diadalútját. Ez az "általánosítás" azonban esetleg még furcsább alapokon nyugszik, mint az alapeset.

A nyitott vagy zárt gazdaságban együttélő korosztályok (OLC) modelljét leginkább a nyugdíjrendszert tanulmányozók használják. A valóságot kutatók nem feledkezhetnek meg arról, hogy a tb­dinamika természetes időegysége nem egy nemzedék (húsz­harminc év), hanem egy korosztály (év). Az OLC elméleti szerepét nagyban korlátozza, hogy a jelenleg uralkodó ízlés nem is kíváncsi e megközelítésre. Jelenleg nagyon nagy az analitikus kezelhetőség becsülete, és nagyon kicsi a realizmusé.¹¹ Csak a jövő döntheti el, hogy mennyiben jogos ez a hozzáállás.

Függelék

Jelölések és változók

Latin kisbetű

c = fogyasztás
g = termelékenység növekedési tényezője
h = gazdaság növekedési tényezője
i = életkor
j = életkor
k = ciklusindex
n = népesség növekedési tényezője
p = korosztályi súlyrendszer
q = túlélési valószínűség
r = kamattényező
s = egyéni megtakarítás
t = naptári idő
u = időszaki hasznosságfüggvény
w = egy főre jutó kereset
z = relatív kamattényező

Latin nagybetű

A = társadalmi felhalmozott vagyon
B = csecsemők létszáma
C = társadalmi fogyasztás, generátorfüggvény
D = halálozási életkor
G = normált közvetett hasznosságfüggvény
H= W/C
I = közvetett hasznosságfüggvény
L = a munkába lépési kor
M = nyugdíjazási kor
N = korosztály létszáma
R = halmozott kamattényező
S = társadalmi megtakarítás
U = várható hasznosságfüggvény
W = aggregált kereset, generátorfüggvény

Görög betűk

= fogyasztási súlyok
= leszámítolási együttható
= átlagos fogyasztási kor
= fogyasztási súlyok
= rugalmassági együttható
= fogyasztási súlyok
=1-rugalmasság
= átlagos kereseti kor

Rövidítések

BR­profil = kereső­nyugdíjas
C­profil = fogyasztás
CR = tőkefedezeti rendszer
GBR­profil = gyerek­kereső­nyugdíjas
OLC=együttélö korosztályok
P­profil = keresztmetszetarány
PAYG = felosztó­kiróvó rendszer
Q­profil = feltételes túlélés
T­profil = fogyasztási súlyok
W­profil = kereset

Hivatkozások

AARON, H. J. [1966] The Social Insurance Paradox. Canadian Journal of Economics and Political Science, 32, 371-374. o.

AYIAGARA, S. R. [1988]: Nonmonetary Steady States in Stationary Overlappin Generations Models with Long Lived Agents and Discounting: Multiplicity, Optimality, and Consumption Smoothing, Journal ofEconomic Theory, 45,102-127. o.

AYIAGARA, S. R. [1989] Can there be Short-Period Deterministic Cycles when Pcople are Long-Lived? Quarterly Journal of Economics,104, I63-185. o.

ARROW, K. [1970]: Essays iti the Theo of Risk Berring. Markham, Chicago.

ARTHUR, W. B. - MCNICOL, I. G. [1978]: Samuelson, Population and Intergenerational Transfers. International Économic Review, 19, 241-271. o.

AUERBACH, A. J. - KOTLIKOFF, L. J. [1987]: Dynamic Fiscal Policy. Cambridge Universety Press, Cambridge

AUSZTINOVICS MÁRIA [1989] The costs of Human Life. Economic Systems Research, 1, 5-26. o:

AUSZTINOVICS MÁRIA [1992]: Towards aTheory of Stationary Populations. Kézirat, MTA KTI, Budapest (korábbi változata 1991, Working papers 2.)

BALASKO, Y. - CASS, D. - SHELL, K. [1980]: Existence of Competitive Equilibrium in a General Overlapping­Generations Model, Jornal of Economic Theory, 23, 307-322. o.

BLANCHARD, O. J. [1985]: Debt, Deficit and Finite Horizons. American Economic Review, 93, 223-247. o.

BLANCHARD, O. J. - FISCHER, S. [1989]: Lectures on Macroeconomics, MIT Press, Cambridge, MA.

CASS, D. [1979]: Money in Comsumption Loan Type Models: an Addendum. Megjelent: Models of Monetary Economies. (Szerk.: Kareken, J. és Wallace, N.) Federal Reserve Bank of Minneapolis.

ELBERTS, C. - WEDDEPOHL, H. N. [1986]: Steady State Equilibria with Saving for Retirement in a Continuous Time Overlapping Generations Model. Journal of Economics, 46, 253-282. o.

GALE, D. [1973]: Pure Exchange Equlibrium of Dynamic Economic Models. Journal of Economic Theory, 6,12-36. o.

GALE, D. [1974]: The Trade Imbalance Story. Journal of International Economics, 4,119-137. o.

GRANDMONT, J. M. [1985J: On Endogenous Business Cycles. Econometrica, 45, 995-1045. o.

GHIGLINO, C - TVEDE, M. [1994]: No­trade and the Uniqueness of Steady States. University of Geneva.

HARDY, G. H. - LITTLEWOOD, J. E-PÓLYA GY. [1952] Inequalities. University Press, Cambridge.

KEHOE, T. J. [1991]: Computation and Multiplicity of Equilibria. Megjelent: Handbook of Mathematical Economics Vol. IV., (Szerk.: W. Hildenbrand-H. Sonnenschein). NorthHolland, Amsterdam.

KIM, O. [1983]: Balanced Equilibrium in a Consumption Loans Model. Journal of Economic Theory, 29, 339-346. o.

KIRÁLY JÚLIA [1989]: Egyéni és kollektív racionalitás. A társadalombiztosítás reformjához. Közgazdasági Szemle, 2. sz.

KIRMAN, A. [1992]: Whom or What Does the Representative Individual Represent? Journal of Economic Perspectives, 6,117-136. o.

MODIGLIANI, F. - BRUMBERG, R. [1954]: Utility Analysis and the Consumption Function: An Interpretation of Cross-Section Data. Post­Keynesian Economics. (Szerk.: Kurihara K. K.) Rutgers University Press, New Brunswick, 388-436.

PETERS, W. [1987]: Steady­State Growth Paths in a Continuously Overlapping Generations Model. Zertschrift für Wirtschafts­ und Sozialwissenschaften,107, 581-594. o.

PETERS, W. [1988]: A Pension Insurance System in an Overlapping Generations Model. Journal of Institutional and Theoretical Economics, 144, 813-830. o.

PETERS, W. [1991]: Public Pensions in Transition: An Optimal Policy Path. Journal of Population Economics, 4,155-175. o.

PÓLYA GYÖRGY-SZEGŐ GÁBOR [1982]: Válogatott feladatok és tételek analízisből II. kötet. Tankönyvkiadó, Budapest.

REICHLIN, P. [1992]: Endogenous Cycles with Long­Lived Agents. Journal of Economic Dynamics and Control,16, 243-266. o.

RÉNYI ALFRÉD [1981]: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.

SAMUELSON, P. A. [1958]: An Exact Consumption­Loan Model of Interest with or without the Social Contrivance of Money. Journal of Political Economy, 66, 467-482. o.

SAMUELSON, P. A. [1975]: The Optimum Growth Rate for Population. International Economic Review,16, 53I-537. o.

SIANDRA, E. [1993]: On the Validity of Aaron's Proposition. Kézirat, Tilburg University.

SIMONOVITS ANDRÁS [1993]: Intercohort Heterogenerty and Optimal Social Insurance Systems. Center Discussion Paper 9349, Tilburg University.

SIMONOVITS ANDRÁS [1994a]: Korosztályok közötti különbségek és optimális nyugdíjrendszerek. Megjelent: Mrért hagytuk, hogy rgy legyen? Tanulmányok Brody Andrasnak c. kötetben. (Szerk.: Madarász Aladár és Szabó Judit), Közgazdasagi és Jogr Könyvkiadó, Budapest, 66-84. o.

SIMONOVITS ANDRÁS [1994b]: Együttélő nemzedékek modellje. Közgazdasági Szemle, 41, 411-427. o.

SIMONOVITS ANDRÁS [1994c]: On the Number of Balanced Steady Steady States in a Realistic Overlapping Cohorts Model? Kézirat, MTA KTI, Budapest.

SIMONOVITS ANDRÁS [1994d]: Are there Endogeneous Cycles in a Realistic Overlapping Cohorts Model. Kézirat, MTA KTI, Budapest.

TOBIN, J. [1967]: Life Cycle Saving and Balanced Growth. Megjelent: Fellner és szerzőtársai (szerk.): Ten Economic Studies in the Tradition of Irving Fisher. Wiley, New York, 231-256. o.

VERBON, H. [1988]: The Evolution ofˇPublic Pension Schemes. Springer Verlag, Berlin. World Bank Policy Research Report (Világbank) [1994]: Averting the Old Age Crisis. Oxford University Press, Oxford.

YAARI, M. E. [1965]: Uncertain Lifetime, Life Insurance and the Theory of Consumer. Review of Economic Studies, 32,137-150. o.

¹ Hasonló a helyzet a hatvanas évek tőkevitájához, ahol homogén tőke (és munka) feltételezésével kapott eredményeket általánosnak állítottak be.

² Az angol balanced jelzőt magyarosabb lenne egyensúlyinak fordítani azonban ez az általánosabb equilibrium jelzővel ekvivalens, ezért lemondunk róla.

³ AUGUSZTINOVICS [1992] a nemzedékek szót némileg más értelemben alkalmazta.

⁴ A gyakorlattal összhangban kétféle értelemben is utalhatunk egy korosztályra: a születés időszakával (például évével) vagy az adott időszakbeli korral. Ebben a dolgozatban az utóbbi megoldást választottuk.

⁵

⁶ Megtévesztő az állandó termelékenység föltevése (SAMUELSON [1975]­től, KIRÁLY [1989]­ig), hiszen a felosztó­kiróvó rendszer fölényét kimondó, a bevezetésben említett gn > r feltételt az n > r feltételre egyszerűsíti, amely a valóságban csak nagyon ritkán teljesül.

⁷ Tulajdonképpen a Q = 0 esetben a hasznosságfüggvények nem homogének, de ha figyelembe vesszük, hogy az állandó tag elhagyható, akkor megtarthatónak véljük az elnevezést.

⁸ Figyelemre méltó, hogy PETERS [1987] modelljében, ahol a szabadidő is választható volt, a Cobb­Douglas­fajta volt az egyedüli megengedett hasznosságfúggvény.

⁹ AUGUSZTINOVICS [1992]­nél nincsenek súlyok, mert nem foglalkozik egyéni keresettel és fogyasztással.

¹⁰ Sokak szemében ez bűn, hiszen egy igazi neoklasszikus mindent feltehet, de a hasznosságfüggvényt lehetőleg általánosnak hagyja. Konkrétan: inkább két paraméterre szűkíti a 40 paraméteres kereseti profilt, semhogy 140 paraméteresre redukálja a hasznosságfüggvényt.

¹¹ Fizikus­közgazdász találkozókon a fizikusok gyakran megrökönyödve tapasztalják, hogy a közgazdászok mennyire megelőzik őket a matematikai pontosságban. Úgy vélem, hogy ez az előny elenyészik az irreleváns modellekből fakadó hátrány mellett.