Már ez sem a régi – kesergett barátom a rántott karfiolt nyammogva. Talán keserű? – kérdeztem. Nem a növénnyel van bajom – mondta, és kezembe nyomott egy cikket. Nemrég találta az interneten. Írásában a koreai tudós a karfiol fraktál-természetét bizonyítja, és kiszámítja annak fraktáldimenzióját, diadalmasan felmutatva, hogy a karfiol nem három, hanem csak 2,88-as dimenziószámmal jellemezhető. Tehát – folytatja barátom –, a karfiol nem tömör, rések vannak a rózsák és szárak között. Amióta a cikket olvastam, a karfiolrózsákat rettentő matematikai monstrumnak látom, és elmegy az étvágyam. Fogalmam sincs, mikor rágom két-, egy-, esetleg másfél dimenzióssá a rántott karfiolt. Így van az, ha egy elméletet felkapnak, és megpróbálják mindenütt, minden jelenség mögött megsejteni. Hát nekem a karfiol nem fraktál. Lehet prézlis vagy rántott, de nem fraktál! Nem akarom mikroszkóppal enni, nem akarom meglátni, hogy bármely nagyításban (skálafüggetlen kiskanállal szedegetve), bármely méretben, ugyanaz a tejföl ül a karfiolrózsák közt...
Egyetértek a barátommal. A jól ismert, fehér húsú karfiol maradjon meg konyhai alapanyagnak és kulináris élvezetek tárgyának. Igaz, a káposztafélék családjának egy másik fajtája, a 16. század óta a Mediterraneumban termesztett római brokkoli a természetes fraktál iskolapéldájává emelkedett az elmúlt évtizedekben. Manapság a laikusok számára ezzel a növénnyel csinálnak kedvet a fraktál-geometriához. Tessék, most bárki rám sütheti az öncélúság bélyegét: én is fraktált keresek mindenütt. Még Borgesnél is... De hogy jön ide Jorge Luis Borges? Ismerte talán a fraktálokat? Nem ismerte.
A fraktálok ismerték Borgest. Rendszeresen rajzottak a fejében. Fraktálgondolatai folyamatosan villantak fel és csomósodtak az agyában, hogy testet öltsenek esszéiben. Magam előtt látom Borgest (aki nem ismeri ugyan a fraktálokat, de ámulatba ejti a rekurzivitás logikája), amint az őt megálmodó Borges elméjében létezve ül íróasztalánál, és erősen gondolkodva egy másik Borgest képzel, aki egy éjjel álmot lát. Végtelen regresszió – írja (valamelyik) Borges, majd gondolatait a Don Quijote apró csodái című esszéjében így folytatja:

„Vajon miért nyugtalanít bennünket, hogy az egyik térkép benne foglaltatik a másikban, s hogy ama ezeregy éjszaka benne van az Ezeregyéjszaka meséi című műben? Vajon miért nyugtalanít bennünket, hogy Don Quijote a Don Quijoté-t olvassa, Hamlet pedig a Hamlet-et nézi? Azt hiszem, rátaláltam a magyarázatra: az efféle megfordítások azt sejtetik, hogy ha lehetséges, hogy egy képzelet alkotta mű szereplői olvasók, illetve nézők, akkor az is lehetséges, hogy mi, olvasók, illetve nézők merő fikciók vagyunk.”

Ma azt mondanánk, hogy Borges „végtelen regressziója” a rekurzivitás fogalmának korai írói kifejezése, ami igen finom, s inkább csak érezhető, semmint kifejezhető prózai felrajzolása a választóvonalnak, ami a borgesi regressziót a valódi fraktáltól elválasztja. A rekurzió matematikai-logikai eljárás, amely eredményezhet ugyan fraktált, ám mégsem szükségszerűen tartalmazza a fraktál elkészítésének receptjét. Számomra a fraktál legszuggesztívebb képi megjelenése lehet a római brokkoli, egy térképlapokból álló sorozat, mely ugyanazt a földdarabot különböző méretarányokban ábrázolja, vagy egy hegyláncról készített űrfotó-sorozat ugyancsak különböző nagyításokban. E három, igen eltérő példa a fraktál matematikai lényegét ragadja meg: íme, a skálafüggetlen (azaz bármely nagyítás alatt lényegében ugyanolyan) önhasonlóság megjelenése. Olyan struktúrák, amelyek bármely nagyítás mellett, bármely képkivágatban jó közelítéssel ugyanúgy néznek ki. A fraktál és a rekurzió megvilágítását Hegedűs Gábornak köszönöm, aki ennek az írásnak korai változatát olvasva mutatott rá a fontos és finom különbségre. Merészet állítok: az 1940–50-es években a fraktálok felfedezése „benne volt” a kor levegőjében. Nem a rekurzióra gondolok, ami számos géniusznál felbukkan az emberi gondolkodás története során, hanem a valódi fraktál-természet megragadására.
A fraktálok matematikai leírását 1960-hoz kötjük, amikor Daniel Mandelbrot matematikai eszközökkel leírta a fraktál képletét, felfedezve ezzel a skálafüggetlen önhasonlóság, a fraktálgeometria matematikai posztulátumát. A rekurzió elve kétségtelenül jóval azelőtt felbukkant az emberi gondolkodásban, hogy Mandelbrot fraktálmeghatározása közkinccsé tette. Ez idő tájt nemcsak az író Borges, hanem más művészek, például az amerikai Jackson Pollock is ráérzett a fraktálokra. Nem felületes tanulmányokra gondolok, amelyek bizonyítják (megint mások cáfolják), hogy Pollock óriás vásznai fraktálok. Állítom, hogy Pollock fraktáljai – Borgeséhez hasonlóan – a művész fejében léteztek. Ezért erről művei kevés eséllyel vallanak. Amennyiben Pollock saját elméjében valóban felbukkantak a fraktálok, akkor azt – valamiképp – ki is fejezte. Erről tehát nem művei, hanem nyilatkozatai győznek meg:

„Amikor a festményemben vagyok, akkor nem vagyok tudatában, hogy mit csinálok. [...] Nem tartok attól, hogy változtassak, szétromboljak egy képet stb., mert a festménynek megvan a saját élete. Én csak megpróbálom életre segíteni. És amikor elveszítem kapcsolatomat a festménnyel, az eredmény zűrzavar. Különben ott a tiszta harmónia, a könnyed átadás és elvétel, és a festmény jól sikerül.”

Tudnunk kell, hogy Pollock hatalmas, néha tízméteres vásznait valóban a „képben” alkotta, szavai így nem csupán allegorikusan, hanem a szó szoros értelmében is értendők. Hol ecsettel, hol vödörrel, hol festékszóróval állt vásznain Pollock. Szó szerint a képben alkotva szórta szét színeit és figuráit az anyagon. Az alkotás során így valamiképpen a festmény részévé vált. Nyilatkozatából kiviláglik a fraktál lényegi magvának felismerése: az önhasonlóság elve, és annak végtelen rekurziója. Pollock egyrészt a festmény maga, másrészt a festményen kívüli Pollock látja a festményben alkotó Pollockot. Ez a fraktál természetének megérzése, művészi ars poeticaként történő intuitív megfogalmazása. Ugyanaz a látásmód, mint Borgesé. A művész része művének, annak egy atomja, ám más „nagyításban” (felülemelkedve az alkotás gyötrelmén), kiszállva a képből, és másik dimenzióból szemlélve meglátja magát a saját festményében. Pollock hatalmas vásznait közelről szemlélve, mintha a teljes egész jelenne meg kicsiny felületen ismétlődve. Két-három évtizeddel később matematikusok próbálták minden eszközzel kimutatni: Pollock non-figuratív vásznai fraktálok – nem jártak sikerrel. Nem is járhattak. Pollock fraktáljait nem ott keresték, ahol azok megbújtak. Nem a festményekben léteztek (azok csak a többszörözött rekurzió szép példái), hanem a művész agyában. A festő képként, az író esszéként próbálta megragadni és közel hozni a valóságot, aminek absztrakt matematikai kifejezéséhez nem rendelkeztek megfelelő apparátussal. Ahhoz a kor egy másik gyermeke, Daniel Mandelbrot kellett.
A matematikai ezermester Mandelbrot az 1950-es évek végén belekapott a közgazdaságtanba, és a gazdaság jövedelmeinek eloszlásait kezdte tanulmányozni. Egyedi látásmódja szakmai körökben ismertté tette, és a Harvard egyik közgazdász professzora 1960-ban meghívta előadást tartani. Amint idősebb kollégája előadását hallgatta és levezetését nézte, ijedten látta, hogy a fraktálokról a fejében kristályosodó sejtést kollégája felrajzolta a táblára! Houthakker – így hívták a harvardi professzort – azonban nem a fraktálokat, hanem a gyapotárak alakulását rajzolta fel. Ennek nyilvánvalóan semmi köze nem volt Mandelbrot jövedelem-eloszlásaihoz, mégis ugyanazt a tényt próbálta értelmezni. Mandelbrot szerencséjére Houthakkernek fogalma sem volt, miért olyan izgatott fiatal vendégelőadója, és miért kiált fel: „Hogyan materializálódhatott az ábrám az előadásom előtt?”. Houthakker zavarban volt. Csak arra akarta felhívni előadásában a figyelmet, hogy a gyapotárak az évtizedes idősorok vizsgálata alapján mintha két ütemre táncolnának: van egy hosszú távú hatás, és van egy véletlenszerű, rövid távú hatás, ami mintha ráíródna a hosszú távú hatás sodrására. Ám folyamatos „illesztési” problémák adódtak: sehogy sem lehetett függvényt illeszteni az idősorokra. Nagyon sokáig (és a legtöbb természeti/statisztikai jelenség értelmezésekor ma is) úgy gondolják a tudósok, hogy ezeknek az adatsoroknak az elemzésére az egyik legmegfelelőbb módszer a Gauss-féle normális eloszlás illesztése a statisztikai adathalmazhoz. Pusztán számolgatás kérdése, és megtaláljuk az adott adathalmazhoz illeszkedő Gauss-féle eloszlást leíró paramétereket. A közgazdászt éppen az ejtette rabul, hogy bárhogy ügyeskedett, a néhány évtizednyi vizsgált időtávot átölelő gyapotárak nem engedelmeskedtek semmilyen addig ismert statisztikai függvénynek sem. Ám Houthakker nem látta meg a dolgok szövete mögött húzódó finom törvényszerűséget. Ehhez Mandelbrot zsenije kellett... Számos fraktált találunk tehát ott, ahol korábban csak egymásba skatulyázott történeteket, borgesi végtelen regressziót, mai értelemben vett rekurzivitást, vagy szokványos matematikai képletek elől eltáncoló adatsorokat látunk.