2000/9.

Kitekintés

Nyereség veszteséges játékokból

Juan Parrondo spanyol matematikus új játékelméleti paradoxont fedezett fel tavaly. Felismerése megdöbbentő: kétféle, külön-külön veszteséggel járó játék együttesen nyereséghez vezet, ha váltakozva játsszák a kétféle játékot. A Parrondo-paradoxon néhány hónap alatt új gondolatokat indított el, alkalmazásra lelt a genetikában, az evolúciós biológiában és a befektetési portfóliók kezelésénél.

D. Abbott ausztrál professzor hamis pénzérmékkel való játékokkal illusztrálta a paradoxont. A pénzérmék súlypontját különböző mértékben áthelyezték, a feldobott hamis pénz nagyobb valószínűséggel esik a egyik oldalára, mint a másikra. (A matematikai részletek iránt nem érdeklődő olvasó ezt a bekezdést átugorva, a következő bekezdéssel folytathatja.) Az A játékban az 1. számú érmével a nyerés p1 valószínűsége legyen 50%-nál kevesebb, tehát a játékos hosszú távon veszít. Legyen p1 ( 1/2-(, ahol az ( küszöbérték tetszőlegesen kis szám lehet, válasszuk 0,0005-nek. A B játékhoz két érme szükséges. A szabály a következő: a 2. érmével játszunk, ha a tőkénk M egész szám többszöröse és a 3. érmével játszunk, ha ez a feltétel nem teljesül. M értéke közömbös, az egyszerűség kedvéért válasszuk 3- nak. Belátható, hogy átlagban a 3. érme jóval többször lesz játékban, mint a 2. érme. Ha a 2. érméhez alacsony, 10%-nál kisebb nyerési valószínűséget rendelünk ( p2 ( 1/10-(), akkor ez lerontja a 3. számú érmével elérhető eredményt ( p3 ( 3/4-(), tehát összességében a B típusú játék is veszteséges.

Amennyiben csak az egyik, akár az A, akár a B játékot játsszuk folyamatosan, egyértelmű, hogy lassan és biztosan elveszítjük a pénzünket, tőkénk egyre csökken. A példában választott számértékekkel számolva 100 A játék után 0-ról kb. -1-re csökken a tőke, 100 B játék után pedig kb. -1,3-re. Ha viszont két A játék után játszunk két B játékot, majd újra két A-t és így folyatjuk tovább, akkor a tőke növekedni fog, igazolódik a Parrondo-paradoxon. Száz játék után 0- ról indulva kb. (1,3 nyereséghez jutunk. Meglepő módon ugyanez az eredmény úgy is elérhető, hogy az A és B játék nem szabályosan, periodikusan, hanem véletlenszerűen váltakozik. Abbott példája csak a paradoxon illusztrálására szolgál, a felismerést kellő matematikai szigorúsággal általánosan is igazolták.

A paradoxon játékok helyett lejtőn való mozgással is szemléltethető. Parrondo tulajdonképpen ilyen problémákon töprengve ismerte fel a ma már a nevét viselő paradoxont. Az egyérmés A játék a sima felszínű lejtőnek felel meg, az érmére fogadva csak veszíteni lehet, a lejtőről pedig mindig lecsúszik a tárgy. A kétérmes B játék fűrészfogazott lejtőhöz hasonló, a fűrészfogak aszimmetrikusak, a tárgy ezen a felületen is lefelé mozog. Képzeljünk el egy olyan lejtőt, amely sűrű egymásutánban változtatja a felszínét, egyszer lapos, majd átmegy fogazottba, majd újra kisimul. A lejtő teljes felszíne hol egyik, hol a másik kiképzést veszi fel. Ha jól választjuk meg a fűrészfogak aszimmetriáját, akkor a tárgy felfelé fog haladni a felszínét változtató lejtőn!

Közgazdászok a befektetések menedzselésének nyerő stratégiáját remélik megtalálni a Parrondo-paradoxon alkalmazásával. A fizikai kutatásokkal foglalkozó amerikai Brookhaven Nemzeti Laboratóriumban Sergei Maslov fizikus számításai fantasztikus eredményhez vezettek: a tőkét két veszteséges portfólió között megosztva is lehet nyerni. A modell egyelőre túl bonyolult ahhoz, hogy valódi tőzsdén is kipróbálhassák.

A paradoxon a véletlen zajokkal kapcsolatos. A hetvenes években vált nyilvánvalóvá, hogy a zajoknak, a véletlen ingadozások nem csak negatív szerepe van, mint az áramkörben hőmérsékleti hatásra fellépő zajnak. Felismerték, hogy nemlineáris rendszerekben a gyenge periodikus jelet zaj hozzákeverésével fel lehet erősíteni. Ha a rendszerben megfelelő aszimmetria van, akkor a zaj hatására például nettó részecskeáramlás léphet fel. Ilyen jelenség húzódhat meg a makromolekulák élő sejteken belüli áramlása mögött. A sima és fogazott lejtő mintájára a makromolekula is kétféle váltakozó hatásnak lehet kitéve: potenciális energiája változatlan (lapos görbe) vagy fűrészfogszerűen változik. Ha a rendszer a lapos és a fűrészfogas potenciál között oda-vissza ingadozik, akkor a részecske határozottan az egyik irányba mozdul el.

A játék, a makromolekulák mozgása vagy a befektetések értékének ingadozása egyetlen közös tulajdonsággal jellemezhető: különleges, szabálytalan ingadozások lépnek fel.

Nature, 1999. szeptember 2. és december 23/30,

New York Times Science, 2000. január 25.

Jéki László


<-- Vissza az 2000/9. szám tartalomjegyzékére