Június 2005
A háló tudománya – művészetek hálója

Néda Zoltán

Szociális hálózatok és vagyoneloszlása társadalmakban

A világunkban létező hálózatok közül számunkra talán a legnyilvánvalóbbak a mindennapi életünket meghatározó és befolyásoló szociális hálózatok. Ezek meghatározzák a családi kötelékeinket, a személyi kapcsolatainkat, baráti társaságunkat és a szociális, illetve gazdasági életben levő dinamikát. A szociális hálózatokon egyes mérhető vagy nem mérhető mennyiségek szoros kapcsolatban állnak a háló topológiájával. Sok esetben a háló struktúrája ezen mennyiségeknek a hálón való optimizációjával alakul ki. Ilyenformán úgy gondoljuk, hogy léteznek úgynevezett „rejtett paraméterek”, amelyeknek az optimizációjára törekszünk, és ez az optimizációs folyamat az, amely a háló struktúráját változtatja, és egy dinamikus egyensúlyi struktúrát eredményez. Jelen dolgozat keretében a szociális háló struktúrája és a társadalmakban megfigyelhető vagyoneloszlás kapcsolatát fogjuk vizsgálni. Kimutatjuk, hogy a társadalomban megfigyelhető vagyoneloszlás szoros kapcsolatban van azon szociális háló topológiájával és erősségével, amelyen a vagyoncsere folyamata létrejön. Célunk a jól ismert Pareto-törvény igazolása hálóelméleti meggondolások alapján, majd a mért Pareto-exponensnek a korrelálása a háló tulajdonságaival. Egy egyszerű családikapcsolat-modell segítségével megmutatjuk, hogy a családi kapcsolatháló szorosan kötődik a családi vagyoneloszláshoz, és olyan modellt, illetve dinamikát javasolunk, amely mind a helyes vagyoneloszlást, mind a családi kapcsolathálót sikeresen generálja.

Vilfredo Pareto közgazdász a 19. század közepén felfigyelt egy  általános jellegű törvényszerűségre a különböző társadalmakban levő vagyoneloszlást illetően [1]. Észrevételei és mérései alapján a társadalom felső (gazdagabb) 5–10 százalékára igaz, hogy a vagyonok kumulatív eloszlása hatványfüggvény szerint csökken. Ez azt jelenti, annak a P(>w) valószínűsége, hogy egy családnak (vagy egyénnek) a vagyona nagyobb, mint egy megadott w érték, egy monoton módon csökkenő hatványfüggvénnyel írható le:  P(>w)~w-a. A hatványfüggvényt jellemző a exponenst Pareto-exponensnek nevezzük. A Pareto-törvényt úgy is kimondhatjuk, hogy sorba rakva a társadalom tagjait vagyonaik szerint (első a leggazdagabb, második a következő gazdagságú egyén stb.), a sorindexet a vagyon függvényében ábrázolva egy csökkenő hatványfüggvényt kapunk.  Érdemes itt megjegyeznünk, hogy a Pareto-törvény egy sokkal általánosabb törvénynek, a Zipf-törvénynek egy speciális esete. A Zipf-törvény értelmében nagyon sok természeti és szociális jelenség eredményez hatványfüggvény-eloszlást (városoknak a lakosság szerinti eloszlása, folyók hozamának az eloszlása, földrengések méreteinek az eloszlása stb…). A Pareto-törvényt ezért sok helyen Pareto–Zipf-törvény néven is emlegetik.

 

Amint ezt már az előbbiekben említettük, a Pareto-törvény nem az egész társadalomra, hanem csak a társadalom nagyon gazdag rétegeire (felső 5–10 százalék a vagyonok alapján) érvényes. A társadalom szegényebb rétegeire ezen P(>w) kumulatív eloszlás nem hatványfüggvény, hanem egy exponenciálisan csökkenő függvény. Az 1. ábrán ábrázoljuk a kumulatív eloszlásfüggvény általános alakját. Ezen az ábrán a 2000-es évre a Nagy-Britanniában mért P(>w) kumulatív vagyoneloszlást ábrázoltuk log-log skálán (a log-log skála azt jelenti, hogy mind az abcissza, mind az ordináta tengely ilogaritmikus). Ezen a logaritmikus skálán a hatványfüggvény egy negatív iránytényezőjű egyenes lesz, amelynek a meredeksége a hatványfüggvény exponensét adja. Az 1. ábrán szépen megfigyelhető, hogy a társadalom gazdagabb rétegére P(>w) hatványfüggvény viselkedést (fizikus szóhasználattal élve: skálázást) mutat, és ezen társadalomra mért Pareto-exponens a=1.8 körül van. A társadalom kevésbé gazdag, illetve szegényebb rétegeire a kumulatív eloszlásfüggvény exponenciális függvénnyel írható le. Ezen exponenciális viselkedést az ábrán levő felnagyított tartományban szemléltetjük, ahol egy log-normál skálát használtunk. (A log-normál skálán az abcissza tengely normál, az ordináta tengely meg logaritmikus.) Ezen a skálán az exponenciálisan csökkenő függvény szintén egy negatív iránytényezőjű egyenes kell hogy legyen, és ezt a mérési adatok igazolják is.

A Pareto-törvény létét sok más társadalomban is igazolták. Pareto eredeti cikkében [1] a 19. századi Angliára mért adatok, a 16–19. századi német fejedelemségekben mért adatok és számos olaszországi városra vonatkozó adatok (16–19. század között) vannak elemezve. A Pareto által meghatározott exponensek a=1,13–1,89 értékek között mozognak. Sok más társadalomra is igazolták a Pareto-törvény helyességét, és megmérték a Pareto-exponens értéket. A legrégebbi társadalom, amit vizsgáltak, az ókori egyiptomi társadalom volt. Abul-Magd [2] ókori egyiptomi város maradványain a házalapok méreteinek az eloszlását vizsgálta. Feltevése szerint a házak alapjainak a méretei arányosak a család vagyonával, így ezen mérésekből az egyiptomi társadalomban levő vagyoneloszlásra próbált következtetni. Vizsgálatai során azt kapta, hogy a házalapok méreteinek a kumulatív eloszlása hatványfüggvény a gazdag családok határesetén, és ezáltal igazolta a Pareto-törvény érvényességét az ókori egyiptomi társadalomban. Ezen tanulmányok alapján sajnos a Pareto-exponenst nem lehetett megállapítani, ugyanis a házak alapjainak a nagysága, habár arányos a család gazdagságával, ezen arányosság nem feltétlenül lineáris.

Hegyi Géza, a kolozsvári Babeş–Bolyai Tudományegyetem volt fizikus diákja, a 16. századbeli (1550 körüli) magyar nemesség vagyoneloszlását vizsgálta a nemesi családok birtokában levő porták számának az összesítésével. A kumulatív eloszlásfüggvény szintén a Pareto-törvényt igazolta, és a Pareto-indexre a=1 körüli értéket szolgáltatott (2. ábra).

 

Számos modern társadalomra is vizsgálták a Pareto-törvény helyességét. A legtöbb adat nem a vagyonok eloszlására, hanem az évi jövedelem eloszlására vonatkozik, ami azonban jól tükrözi a társadalomban levő vagyoneloszlást is. Megemlítjük itt Clementi és Galegatti [3] méréseit az olaszországi társadalomra az 1977–2002-es időszakra vonatkozóan, Sinha méréseit [4] az indiai társadalom felső 1 százalékára vonatkozóan a 2002–2004-es időszakban, illetve Fujiwara méréseit [5] a japán társadalomra az 1986–2000-es időszakban. Ezen mérések alapján végigkísérhető a Pareto-exponensnek a váltakozása is az idő során. Japánban a különböző évekre végzett mérések a=1,8–21 közötti Pareto-exponens értékeket szolgáltattak, Olaszországban meg a=1,5–2 közötti értékeket mértek. Az indiai társadalomban végzett mérések sokkal kisebb Pareto-exponenst eredményeztek: a=1,0–1,23. A Pareto-törvény helyességét tehát számos régebbi és modernebb társadalmon elvégzett mérés is igazolja.

Egy elméleti közgazdász, matematikus vagy akár fizikus számára e törvényszerűség megértése komoly kihívást jelent. Érdekes feladatnak tűnik megérteni, minek tulajdonítható ezen általános jellegű törvényszerűség, és mi határozza meg a Pareto-exponens értékét. Fontos annak is a tisztázása, hogy milyen kapcsolatban van a Pareto-exponens a társadalomra jellemző szociális hálókkal, és a háló milyen tulajdonságaira következtethetünk a Pareto-exponens mérésével. A következőkben ezen kérdésekre próbálunk választ keresni a modern statisztikus fizika és számítógépes fizika módszereit felhasználva.

 

Először röviden ismertetünk egy átlagtérelméletet a probléma megközelítésére, majd egy realisztikusabb hálóelméleti modellt fogunk leírni és tanulmányozni. Az átlagtérelméletet Bouchod és Mezard francia statisztikus fizikusok dolgozta ki [6]. Modelljük alapján a társadalom tagjait egy háló csomópontjainak tekintjük, és a társadalombeli vagyoncsere a háló kötésein keresztül valósul meg. A 3. ábrán szemléltetünk egy leegyszerűsített társadalommodellt, ahol a körök a társadalom tagjainak a vagyonát szemléltetik, és a vagyoncsere a társadalom bármely két tagja között létrejöhet. A valóságban persze nem egy teljesen összekötött hálózattal kell számolnunk, és a különböző kötéseken különböző nagyságú vagyonok cserélődhetnek, annak függvényében, hogy az adott kötés milyen erősségű. Az átlagtér-megközelítés lényege az, hogy egy teljesen összekötött hálózattal közelítjük meg a társadalmat, és minden kötés erősségét hasonlónak tekintjük. Jelöljük a továbbiakban ezen átlagkötés erősségét J-vel.

Ha wi –vel jelöljük az i-edik csomópont vagyonát, akkor e vagyon időbeli változására egy „másztersz-egyenletet” írhatunk fel. E másztersz-egyenlet azt fejezi ki, hogy a wi vagyonnak a változási sebessége multiplikatívan függ a wi vagyon nagyságától és a kötéseken (kapcsolatokon) kapott vagy leadott vagyon mennyiségétől      ( dwi/dt=hi(t)wi+J (w-wi ), ahol hi(t) egy nullás átlagú véletlenszerű változó, amelynek a szórása s, w a társadalomban levő átlagos vagyon). Kiindulva egy kezdeti tetszőleges vagyoneloszlásból, megoldhatjuk a másztersz-egyenletet, és meghatározhatjuk a vagyonok dinamikáját, illetve a stacionárius, egyensúlyi vagyoneloszlást. A statisztikus fizikában és a véletlenszerű jelenségeknél használt Fokker–Planck-egyenlet felírásával az egyensúlyi vagyoneloszlásra egy exponenciális eloszlást kapunk a kis vagyonok határesetében és egy hatványfüggvényt a nagy vagyonok határesetére. A kumulatív eloszlás is hatványfüggvényszerű lesz nagy vagyonokra, ami által a Pareto-törvény létét igazoltuk modellünkben. A modell által szolgáltatott Pareto-exponens: a=1+J/s2. A modellből azonnal levonható következetetés az, hogy minél erősebben összekötött a háló, vagyis minél nagyobb a J paraméter értéke, annál nagyobb Pareto-exponenst kell mérnünk. A számunkra releváns háló összekötöttsége a gazdasági és társadalmi élet intenzitását fejezi ki. Látható, hogy az összes bemutatott kísérleti eredmény az átlagtér-közelítés következtetéseit szépen igazolja. A középkorban mért Pareto-exponensek értékei 1-hez nagyon közeliek, ami a gazdasági élet fejletlenségére utal. Az 1500–1600-as évek között a Németországra és Olaszországra mért Pareto-exponensek ugyanakkor nagyobbak, mint a magyarországi nemességre jellemző 1-hez nagyon közeli Pareto-exponens, ami a nyugat-európai gazdasági élet korábbi fejlődésére utal. A modern és pezsgő gazdasági élettel rendelkező társadalmakban a Pareto-exponens értéke 2 körül mozog, ami a társadalmi hálókon egy lényeges vagyoncsere-mechanizmusra utal. Észrevehető ugyanakkor, hogy a kevésbé aktív és erősen konzervatív indiai gazdasági élet körülményei között  a Pareto-exponens ma is 1-hez nagyon közeli maradt.

Az átlagtér-közelítés mellett a Pareto-törvény jobb megértése végett vehetünk egy olyan leegyszerűsített modellt is, amelyben a társadalmi háló szerkezete is tanulmányozhatóvá és modellezhetővé válik. Ezen modell [7] keretében egy családi kapcsolathálót tekintünk, és ezen modellezzük a vagyoncsere folyamatát. Az egyszerűség kedvéért egy olyan idealizált társadalmat vizsgálunk, melyben a családok száma (N) állandó, és amelyben az összvagyon értéke (W) rögzített. Joggal vitatható, hogy egy adott társadalmon belül az összvagyon értéke növekszik, azonban ezen növekedés egyszerű inflációhoz vezet, és minden vagyont ezáltal egyszerűen visszaskálázhatunk úgy, hogy az összvagyon értéke konstans maradjon. Modellünkben a vagyoncsere folyamatát egy családi kapcsolathálón próbáljuk leírni. Ezen családi kapcsolatháló az elsőfokú családi kapcsolatokat jellemzi. Tekintsünk kiindulásképpen tetszőleges N csomópontú hálót, amelyben a csomópontoknak egy véletlenszerű w(i) vagyont adunk (4. ábra). Az egyszerűség kedvéért legyen ezen vagyon kezdetben a [0,1] intervallumon véletlenszerűen elosztott.

 

Vagyonukon kívül a csomópontokat „koruk” is jellemzi. A csomópontok kora 1-től N-ig változik, a legöregebb az N-es csomópont. A csomópontok vagyonainak, illetve a háló struktúrájának az evolúcióját a következő valószerű törvények alkalmazásával nyerjük:

1. Minden időlépésben a legöregebb csomópontot kivesszük a rendszerből, és a vagyonát egyenlően szétosztjuk azon csomópontok között, amelyekkel össze volt kötve.

2. A kivett csomópontot visszahelyezzük a rendszerbe 0-s korra és összekötjük két olyan meglévő csomóponttal, amelynek a vagyona nagyobb, mint egy előre lerögzített q érték. Az összekötött csomópontok vagyonaiból kivonjuk a q értéket, és ezt a q értéket preferenciálisan szétosztjuk a társadalom tagjai (a csomópontok)  között. A preferenciális szétosztás azt jelenti, hogy véletlenszerűen kiválasztunk egy csomópontot a rendszerben, de ez a véletlenszerű kiválasztás a csomópontok vagyonaival súlyozottan történik. Ezáltal a csomópontok vagyonaikkal arányosan részesednek ezen szétosztott q vagyonokból. A két csomópont amelyhez az újonnan bejövő 0-s korú csomópont kapcsolódik, megmaradt vagyonainak egy p-ed részét az újonnan bejövő csomópontnak adja. 

3. Minden csomópont korát egységnyivel megnöveljük.

Az 1–3. törvények nagyon sokszori egymás utáni alkalmazásával modellezzük a társadalomban végbemenő vagyoncsere-dinamikát. Modellünkben a családok száma és az összvagyon megmarad, ezáltal minimális számú paraméterünk jellemzi a rendszer evolúcióját. Lényeges paramétereink a p és q. Bizonyítható, hogy a modell egy egyensúlyi, kezdeti eloszlástól független vagyoneloszláshoz és hálótopológiához vezet. A törvényeink valószerű és lényeges vagyoncsere-mechanizmusokat modelleznek a családi kapcsolathálón. Az 1. törvényünk egy család kihalását követő öröklési folyamatot modellezi, amelyben az elsőrendű rokonok között szétosztjuk a megszűnő család vagyonát. A 2. törvényünk egy új család megalakításának a folyamatát hivatott leírni. Egy új család megalakításához az szükséges, hogy két meglévő család egy-egy gyereket felneveljen. A gyerek felneveléséhez minimális nagyságú q vagyon szükséges. Ezen q vagyont a családok a társadalomnak fizetik be, a piacgazdaság keretei között azonban azok a családok, amelyeknek nagyobb vagyona van, nagyobb valószínűséggel részesednek ezen összegből. A nagyobb vagyonnal rendelkező család valószínűleg több üzleti érdekeltséggel rendelkezik, ezért ezen q értékből nagyobb arányban részesül. Ezt a tényt modellezi a q vagyonok preferenciális szétosztása. A megalakuló új családnak két azonnali kötése lesz a két családtagot felnevelő családdal. Ezen két szülői család ugyanakkor a megmaradt vagyonuk p-ed részével hozzájárul az új család megalapozásához. E megalapozás nélkül az új családnak nem lenne lehetősége további vagyonszerzésre, a preferenciális vagyonszétosztás miatt. A 3. törvény egyszerűen az öregedési folyamatot modellezi. Előfordulhat ugyanakkor, hogy a legöregebb csomópont (család) úgy hagyja el a rendszert, hogy egyetlen kötése sincs. Ilyen esetben a vagyonát szintén preferenciális módon szétosztjuk a többi csomópont között.  Látható, hogy a fenti törvények főleg a modern társadalmakban uralkodó törvényszerűségeket modellezik. A nagyon szegény családok (melyeknek vagyona a q határnál kisebb), nem lesznek képesek újabb családokat alapítani.  A fentebb értelmezett modell dinamikáját számítógéppel könnyen szimulálhatjuk, és ezáltal vizsgálhatóvá válik a csomópontok vagyoneloszlása a kialakuló hálóstruktúra a p és q paraméterek függvényében. 

A q és p paramétert realisztikusan megválasztva, a továbbiakban néhány szimulációs eredményt mutatunk be. Mivel kezdetben a csomópontok vagyona a [0,1] intervallumban van szétosztva, azonnal következik, ahhoz, hogy a modell egyáltalán működjön, a q paramétert is ezen az intervallumon kell megválasztani. A p paraméter, ami azt jellemzi, hogy az új családot alapító családok a vagyonuknak milyen részét adják az újonnan alapított családnak, realisztikusan a 0,1–0,3 tartományban kell megválasztani. A modell által a p=0,3 és q=0,7 realisztikus értékekkel kapott egyensúlyi kumulatív vagyoneloszlást az 5. ábrán szemléltetjük:

 

Ezen a log-log ábrán látható, hogy a kumulatív eloszlásfüggvény a p=0,3 és q=0,7–0,9 értékekre nagyon szépen megközelíti a modern társadalmakban mért görbe alakját (lásd 1. ábra). A nagy vagyonok határesetében a kumulatív eloszlásfüggvény hatványfüggvényszerűen viselkedik, a kis és közepes vagyonok esetén meg a valósághoz híven exponenciálisan csökken. A kumulatív eloszlásfüggvényből kapott a=1,8-as Pareto-exponens nagyságrendben jól egyezik a modern társadalmakban mért értékkel. Látható ugyanakkor, hogy a mérésekkel összhangban a Pareto-törvény a társadalom felső 5–10 százalékára érvényes. A q értékének a növelésével a kapott Pareto-exponens értéke is nő. Vizsgáljuk meg most a generált egyensúlyi hálózat topológiáját. A hálózatok struktúráját főleg a P(k) fokszámeloszlás jellemzi. A fokszámeloszlás megadja a csomópontokból kiinduló kötések számának az eloszlását, vagyis annak a valószínűség-sűrűségét, hogy egy adott csomópontból k számú kötés induljon ki. A természetben található valóságos hálók többségére ez a fokszámeloszlás egy hatványfüggvényszerű, úgynevezett skálafüggetlen viselkedést mutat. Példa erre az internet, a színészi kollaborációk hálója, a tudományos kollaborációk vagy hivatkozások hálója, a sejtbeli metabolikus hálók vagy akár a cégek közti gazdasági kapcsolatok hálója. Ezen hálók leírása és modellezése két magyar fizikus, Albert Réka és Barabási Albert-László forradalmi munkásságának [8] tulajdonítható. A hálóknak egy másik nagy csoportját az úgynevezett Poisson-típusú fokszámeloszlású hálók alkotják, amelyek szintén két magyar származású matematikus, Erdős Pál és Rényi Alfréd munkássága révén [9] váltak közismertté. Könnyen meggyőződhetünk, hogy a modellünk által generált családi kapcsolatháló az Erdős–Rényi-típusú véletlenszerű háló, ugyanis az egyensúlyi fokszámeloszlás Poisson-típusú. Néhány realisztikus q és p értékre a modellünk által generált háló fokszámeloszlását egy lineáris-log skálán a 6. ábrán szemléltetjük. Mivel ezen a skálán a fokszámeloszlás farka jó megközelítéssel egyenes, a fokszámeloszlás exponenciális, ami egy Erdős–Rényi-típusú véletlenszerű hálóstruktúrára utal.

 

A 6. ábrán látható, hogy a csomópontok legvalószínűbb fokszáma 2,5 körül van, ami egy olyan családi kapcsolathálóra utal, ahol az elsőfokú családi kapcsolatok legvalószínűbb száma 2 és 3 között mozog. Ezen eredmény elég realisztikusnak tűnik, és a modern társadalmi életben észlelt családi kapcsolatokat jól jellemzi.  

Modellünk segítségével tanulmányozható a hálóstruktúra és a vagyoneloszlás közötti kapcsolat és korreláció is. A modell értelmében a nagy vagyonok határesetében egy erős pozitív korreláció van a fokszám és a vagyon között. A pozitív korreláció azt jelenti, hogy a nagyon gazdag csomópontok sok kötéssel rendelkeznek. A kis és közepesvagyonú csomópontok határesetében azonban fordított, negatív korreláció figyelhető meg a vagyon és a fokszám között. A modell evolúcióját végigkísérve nyilvánvalóvá válik a Pareto-törvény kialakulásához vezető mechanizmus is. A családoknak a vagyon szerinti erős differenciálódása a hálóstruktúrán keresztül valósul meg. Azon családok, amelyek az elején kevés kötéssel (kapcsolattal) rendelkeznek, lesznek azok, amelyek meggazdagodnak. Ezen családok vagyona a preferenciális nyereségen keresztül multiplikatíven nő, és a vagyonukat a hálóstruktúrán keresztül átörököltetik elsőfokú rokonaiknak.

 

Jelen dolgozatunkban tehát a szociális életünket meghatározó hálók és a társadalomban levő vagyoneloszlás közötti kapcsolatot tanulmányoztuk. Két hálóelméleti modell segítségével megmagyaráztuk a Pareto-törvény létrejöttét. Láttuk, hogy a társadalmat jellemző háló, amelyen a vagyoncsere létrejön, és a társadalomban észlelt vagyoneloszlás szorosan összefügg egymással. Azon társadalmakban, ahol a társadalom tagjai közti vagyoncsere kicsi, a Pareto-exponens 1-hez közeli, azon társadalmakban pedig, ahol lényeges vagyoncsere-mechanizmusok működnek, a Pareto-exponens értéke megnő, és inkább 2-höz közeli értékeket vesz fel. A modern társadalmakban kialakuló családi kapcsolatháló is összefüggésben van a társadalomban észlelt vagyoneloszlással. A családi kapcsolathálót a családok vagyonai mint rejtett paraméterek erősen befolyásolják. A háló egyensúlyi struktúrája tehát a hálón észlelt egyensúlyi vagyoneloszlással szoros kapcsolatban alakul ki. Számos más szociális és gazdasági mutató, illetve paraméter hasonló módon szerves kapcsolatban áll a társadalmi életben megfigyelhető hálóstruktúrákkal. Ezen paraméterek mérésével fontos információkat kaphatunk a hálók struktúrájára vonatkozóan, és számos nehezen mérhető vagy jellemezhető szociális és gazdasági mennyiségre kaphatunk becslést. A modern gazdasági és szociális élet tanulmányozása, modellezése és leírása manapság tehát elképzelhetetlen az ezt meghatározó kapcsolatháló figyelembevétele és jellemzése nélkül.

IRODALOM

[1]  V. Pareto, Cours d’Economie Politique. 2. Macmillian, Paris, 1897.

[2] A.Y. Abul-Magd: Physical Review E. 66, 057104 (2002)

[3] F. Clementi and M. Gallegati, preprint cond-mat/0406385

[4]  S. Sinha: preprint cond-mat/0502166

[5] Y. Fujiwara et al. Physica A. 321, 598-604 (2003)

[6] J.-P. Bouchod, M. Mezard: Physica A. 282, 536-542 (2000)

[7] R. Coelho, Z. Néda, J.J. Ramasco. M.A. Santos: preprint, megjelenés alatt Physica A. 2005

[8] R. Albert és A.L. Barabási: Rev. Mod. Phys. 74, 47-97 (2002)

[9] P. Erdős és A. Rényi: Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 5, 17-24 (1960)