PHILOSOPHICAL THEORIES OF PROBABILITY*
HÉJA ENIKŐ
Gillies könyvének célja a valószínűség különböző interpretációinak áttekintése. A valószínűség matematikai fogalma a Kolmogorov-axiómák óta egyértelműen meghatározottnak tekinthető: a valószínűségi kalkulus tekintetében gyakorlatilag teljes konszenzus alakult ki a matematikusok között. Ugyanez már nem mondható el a kalkulus formuláinak jelentéséről, azaz arról, hogyan interpretálható a valószínűség fogalma úgy, hogy a már kialakult matematikai apparátus ereje ne gyengüljön.
Gillies tárgyalja egyfelől a már meglévő interpretációkat - kezdve a legkorábbival, általában időrendben -, másfelől az általuk felvetett problémákat és a hozzájuk kapcsolódó nehézségeket. Mindazonáltal nemcsak a már meglévő interpretációkról ír, hanem sajátjait is kifejti. A valószínűség interpretáci-ókat két nagyobb csoportra osztja: megkülönbözteti az episztemikus és az objektív interpretációkat. Episztemikus interpretációknak azokat a megközelítéseket hívja, amelyekben a valószínűségi mérték az individuum, vagy individuumok véleményeitől függ. Idetartozik a Keynes-féle logikai valószínűség fogalma, valamint a Ramsey és de Finetti nevéhez fűződő szubjektív valószínűség, és ennek Gillies által továbbfejlesztett változata, az interszubjektív valószínűség. Az objektív interpretációk azok, amelyeknél a valószínűségi mérték független a megfigyelő hiteitől, elvárásaitól. Ezek közül a von misesi relatív gyakoriság elmélettel, valamint ennek későbbi változataival, Popper és követői propensity-elméleteivel foglalkozik bővebben. Ezek kapcsán Gillies kifejti saját propensity-változatát is. A könyv hátralévő részében amellett érvel, hogy bár a fenti kategorizálás hasznos, mégis sokkal kezelhetőbbé tenné az interpretációkat és ezek alkalmazhatóságát az, ha az egyes valószínűség értelmezéseket nem pusztán egy szubjektív-objektív skála két végén helyeznénk el. Ez az elgondolás előfeltételezi a szerző valószínűségekről vallott pluralista felfogását: Keynesszel, von Misesszel és de Finettivel szemben elutasítja, hogy a világban található összes jelenség leírására kizárólag egyetlen interpretáció lenne alkalmas. Ismertetésemben a következőkben a könyv főbb fejezeteit fogom áttekinteni.
Gillies az általánosan elfogadott nézettel összhangban megállapítja, hogy a klasszikus interpretáció fő nehézsége ugyanaz, mint az egy-két évszázaddal későbbi Keynes-féle (A Treatise on Probability, 1921) logikai interpretációé: mindkét elmélet az indifferencia elvén alapszik és ezáltal súlyos nehézségekhez vezet. Az indifferencia elve a következő: "Ha nincs ismert okunk arra, hogy számos alternatíva közül az egyiket preferáljuk a többivel szemben, akkor az adott tudáshoz képest minden ilyen alternatíva állításai egyenlő valószínűséggel rendelkeznek" (Keynes, 1921; p. 42). Gillies megmutatja, hogy az elv alkalmazásából adódó paradoxonok feloldásához nem elegendő sem Keynes megszorítása (mely szerint az indifferencia elve csak olyan esetekben alkalmazható, amikor az alternatívák száma véges és az egyes alternatívák nem bonthatók fel további alesetekre), sem az invarianciára vonatkozó megszorítások - melyek felhasználásával megoldották a Bertrand-paradoxont (Jaynes, 1973). Noha Gillies itt még csak már meglévő eredményeket ismertetett, kifejtésmódja rendkívül áttekintő, világos és rendszerezett.
Az indifferencia elvéből adódó nehézségek feloldhatatlansága új interpretációk kidolgozását igényli. A következő valószínűségi elmélet, amelyet Gillies részletesen tárgyal, a Ramsey-de Finetti-féle szubjektív interpretáció. A szubjektív interpretáció keretein belül a valószínűségi mérték egy fogadási helyzettel definiált, az egyes individuumok ebben a fogadási helyzetben kijelentéseknek valószínűségi értékeket tulajdonítanak. A fogadási helyzet során a játékos, akinek hitét mérjük, egy E esemény bekövetkezését illetően fogad a "játékvezetővel". A fogadási helyzet a következő: a játékos mond egy számot (q), ez az ő fogadási hányadosa. A játékvezető ennek ismeretében tesz egy tétet (S). A játékos "nevezési díja" qS, azaz ő az esemény bekövetkezésétől függetlenül ennyit fizet azért, hogy játszhasson, míg ha E ténylegesen bekövetkezik, a "játékvezető" S-et fizet a játékosnak. A szerző hangsúlyozza a szubjektív megközelítés azon előnyét, hogy a kijelentések egyedi eseményeket is reprezentálhatnak, melyre szerinte az objektív interpretációk nem alkalmasak. Gillies elegáns bizonyítását nyújtja a Ramsey-de Finetti tételnek, mely szerint, ha a propozícióknak tulajdonított hitek, azaz a fogadási hányadosok kielégítenek egy feltételt, a koherencia-kritériumot, akkor - és csak akkor - a fogadási hányadosok kielégítik a Kolmogorov-axiómákat. A koherencia kritériuma azt mondja ki, hogy a fogadó fogadási hányadosai akkor koherensek E1; E2;...;En események bekövetkezését illetően, ha a "játékvezető" nem tud úgy S1; S2;...; Sn téteket választani, hogy az E1; E2;...; En események bármilyen kimenetele mellett ő nyerjen. Gillies tehát elfogadja, hogy a valószínűség szubjektív megközelítése a matematikai kalkulus egy adekvát interpretációja. A továbbiakban de Finetti a valószínűség minden más értelmezését elutasító felfogására reflektálva részletesen tárgyalja a "látszólag" objektív valószínűségek szubjektív megközelítését. De Finetti a felcserélhetőség fogalmára hivatkozva azt állítja, hogy az olyan események valószínűsége, mint például a pénzdobálás eredményei is, kizárólag szubjektívak, nem lehetnek az individuumok hiteitől független létezők: az egyes individuumok kezdeti hiteiket módosítják az adott evidenciák fényében Bayes-féle feltételes valószínűséggel, mígnem ezek nagyon közel nem lesznek egymáshoz. Gillies két ponton vitatkozik a szubjektív megközelítéssel: egyfelől cáfolja, hogy pusztán a bayesiánus feltételes valószínűség szerinti módosítás kezdeti véleményünkön minden esetben megfelelő lenne a világban található - és így objektív - jelenségek leírására, másfelől azt állítja, hogy a felcserélhetőség feltétele csak akkor áll fenn, ha az események függetlenek egymástól. "A felcserélhetőség fogalma élősködik az objektív függetlenség fogalmán és így redundáns" - írja (p. 77). Gillies tehát elismeri, hogy a szubjektív interpretáció adekvát interpretációja a Kolmogorov-axiómáknak és az elmélet további előnyének tartja, hogy nemcsak az eseménytípusokat képes kezelni, hanem az egyedi eseményeket is. Nem fogadja el azonban de Finettinek azon nézetét, hogy ez a megközelítés lenne az egyetlen kizárólagos interpretáció, mely a természettudományok vonatkozásában éppúgy megállja a helyét, mint a társadalomtudományok vizsgálatánál.
Könyve egy későbbi fejezetében Gillies egy érdekes általánosítást tesz a szubjektív interpretációhoz kapcsolódóan: azt állítja, hogy a koherencia-kritériumot nemcsak személyek fogadási hányadosaira lehet alkalmazni, hanem csoportokéra is. Egy csoport individuumaira teljesen hasonlóképpen definiált fogadási hányadosok akkor és csak akkor lehetnek koherensek, ha a csoport minden tagja pontosan ugyanakkora hitet tulajdonít egy kijelentésnek. Ez a gondolat jó alátámasztása a szerző azon elképzelésének, hogy a valószínűség interpretációk átmenetet alkotnak a szubjektívtól az objektívig. A továbbiakban Gillies az objektív interpretációkat veszi sorra: először a valószínűség von Mises-féle relatív-gyakoriság interpretációját, majd az ebből Karl Popper által továbbfejlesztett propensity-elméletet. Megvizsgálja továbbá Popper késői elméletét, valamint Miller és Fetzer hasonló nézeteit. Ezek után saját hajlam-elméletét is kifejti.
Von Mises elméletének ismertetése során Gillies elsősorban annak empirikus jellegét hangsúlyozza. Von Mises elveti azt a lehetőséget, hogy egyedi eseményekhez is rendelhessünk valószínűséget, mert ezek nem rendszeresen megfigyelhetőek. Így kizárólag ismétlődő eseményekkel, vagy tömegjelenségekkel foglalkozik. Von Mises a valószínűség-számítást a mechanikával teljesen analóg empirikus tudománynak tartja. Eszerint, bár egy bizonyos típusú eseményt csak véges sokszor figyelhetünk meg, teljesen helyénvaló az eseménytípus előfordulását egy matematikailag végtelen sorozatban venni, legalábbis annyiban, amennyiben például a mechanikában megengedett véges testeket végtelenül kicsi entitásokkal, pontokkal reprezentálni. Ez az analógia tette lehetővé von Mises számára, hogy a véges - empirikus - sokaságokat végtelen - matematikai - sokaságokkal helyettesítse. A relatív-gyakoriság megközelítés em- pirikus jellege az elmélet egész felépítésében megnyilvánul: von Mises először megállapít két tapasztalati törvényt; a statisztikai gyakoriság stabilitásának törvényét, és a véletlenszerűség törvényét, vagy másképpen a kizárt nyerési stratégiák törvényét. Ahogyan von Mises a megfigyelhető véges sokaságokat végtelen matematikai sokaságokká absztrahálja, úgy empirikus törvényeiből nyeri a valószínűség relatív-gyakoriság interpretációjának matematikai axiómáit és magát a valószínűség definícióját is. Gillies hangsúlyozza, hogy mennyire hatottak von Misesre Ernst Mach operacionalista definícióra vonatkozó nézetei, mely szerint egy empirikus elmélet összes terminusát megfigyelhető jelenségek vonatkozásában kell meghatározni. Von Mises esetében a definiálandó terminus a valószínűség, a megfigyelhető jelenség pedig a gyakoriság. Ahogy Okasha (2002, p. 153) megjegyzi, Gillies legfőbb problémája a relatív-gyakoriság elmélettel kapcsolatban a megközelítés operacionalista felfogása, amellyel szemben több ellenvetést is megfogalmaz. Például azt, hogy egy operacionalista definíció esetén az az eljárás, amely által meg akarjuk határozni a kívánt fogalmat, sok esetben már előfeltételezi magát a definiálandó fogalmat. De, mint azt látni fogjuk, Gillies saját valószínűség interpretációjába számos jelentős elemet emel át a von misesi megközelítésből. A könyv szerzője nemcsak tisztán filozófiai kérdéseket vizsgál: elemzi a von misesi axiómák és a Kolmogorov-axiómák viszonyát, valamint von Mises "nyerési stratégiájának" Wald- és Church-féle matematikai formalizálását, amelyre azért volt szükség, hogy megmutathassák, hogy a két axióma nem inkonzisztens.
A továbbiakban Gillies áttekint néhány propensity-elméletet. Propensity-elméleten ért minden olyan megközelítést, amely objektív valószínűséget tételez, de nem relatív-gyakoriság szerinti interpretáció. Karl Popper célja propensity-elmé-lete megalkotásakor (1934) az volt, hogy objektív valószínűséget tulajdoníthasson egyedi eseményeknek is. E törekvés fizikai motivációja a kvantummechanika volt. Popper korai elméletében generáló kezdeti feltételek egy halmazát veszi, és ezeket úgy tekinti, mint amelyek egy bizonyos mértékű hajlammal - "propensity"-vel - rendelkeznek arra, hogy a megfigyelt gyakoriságot "előállítsák". Gillies szerint mindenesetre nem világos, hogy Popper generáló feltételei végtelen vagy hosszú, de véges sorozatokat produkálnak. Bár a második esetben maradnánk hűek az empirikus kiindulóponthoz, és Gil-lies is ezen interpretációt fogadja el, Popper elméletének ezen értelmezése két nehézséget is felvet. Az egyik az, hogy nehezen meghatározható, hogy mikor tekinthetünk egy sorozatot elegendően hosszúnak, a másik probléma pedig az, hogy míg végtelen sorozatokban a relatív-gyakoriság határérték definíciója pontosan a valószínűség értékét adja meg, addig véges sorozatokban csak erre az értékre vonatkozó, többé vagy kevésbé jó becsléseket kapunk. Gillies tehát a második értelmezés mellett dönt és ezen döntését az általa felvetett problémákkal szemben nem védi meg, csupán azzal indokolja, hogy "ismétlődések végtelen sorozatai nem találhatóak az empirikus világban" (p. 116).
Gillies kritizálja azt a nézetet, mely szerint egyedi eseményeknek is tulajdoníthatunk objektív valószínűséget, ezt részben Howsonra és Urbachra (1989), részben Keynesre (1921) hivatkozva teszi. Howson és Urbach kapcsán a referencia-osztály problémát használja álláspontja alátámasztásául, mely szerint, ha találunk is olyan legszűkebb referencia-osztályt, amely által a szinguláris esemény valószínűsége meghatározható úgy, mint az adott osztályba tartozó hasonló típusú események relatív-gyakorisága, egy egyedi esemény bekövetkezésének valószínűsége még akkor is függ attól, hogy milyen módon írjuk le az eseményt, így attól, hogy milyen háttértudással rendelkezünk egy partikuláris eseménnyel kapcsolatban. Keynes szerint még nagyobb szerepe van a statisztikus tudásunkkal szemben az esetleges többlettudásunknak: esetenként az utóbbi teljesen módosíthatja az előbbit egy egyedi esemény vonatkozásában. Gillies elismeri, hogy bizonyos esetekben mégis - elvileg - megengedhetőnek tűnik az, hogy objektív valószínűséget tulajdonítsunk egyedi eseményeknek, de ezeket azokra az egyszerűbb esetekre korlátozza (pl. szerencsejátékok), ahol a kezdeti feltételek eltérései kevéssé befolyásolják az adott kimenetel bekövetkezésének valószínűségét.
Gillies a következőképpen csoportosítja a propensity-elméleteket: megkülönbözteti egymástól a hosszú távú propensity-elméleteket és a szinguláris eseményekre vonatkozó propensity elméleteket. Az előbbi csoporthoz azok az elméletek tartoznak, melyek esetén a "propensity"-k ismételhető feltételekhez vannak kötve, és ahol a "propensity"-t úgy tekintjük, mint a generáló feltételek hajlamát arra, hogy viszonylag nagy számú ismétlés esetén olyan gyakoriságot hozzon létre, amely megközelítőleg azonos a valószínűséggel, még akkor is, ha a valóságban esetleg nem ismételjük őket meg sokszor. A második típusú elméletek közé azok tartoznak, amelyekben a "propensity" egy egyedi esemény létrehozására alkalmas hajlamnak tekinthető. Gillies szerint Popper korai interpretációjában mindkét típusú megközelítés jelen van: a hosszú távú felfogást alkalmazva akarta megkapni egyedi események valószínűségét. Ezt követően röviden áttekinti a késői Popper, Miller és Fetzer egyedi eseményekre vonatkozó elméleteit, ahol annak, hogy a kezdeti feltételek szinguláris eseményt állítsanak elő, minden esetben az az ára, hogy túlságosan ki kell tágítani a figyelembe veendő generáló feltételek körét. Millernél ez a világegyetem teljes állapota egy adott időpillanatban, míg Poppernél sem sokkal szűkebb a figyelembe veendő kezdeti feltételek köre: "a teljes fizikai szituáció" (1990, p. 17; idézve Gillies, p. 126). A szerző mindhárom elméletnek felrója azt, hogy könnyen metafizikai elméletté válhatnak, amennyiben rendkívül nehezen látható, hogy a kezdeti feltételek egy ilyen kiterjedt halmaza hogyan ismételhető meg, azaz hogyan ellenőrizhetünk "propensity"-ként felfogott partikuláris valószínűségeket. Gillies megvizsgálja azt is, hogyan képesek kezelni a propensity-elméletek a kauzalitást, és azt találja, hogy az okság kiterjesztéseként felfogott, szinguláris eseményekre vonatkozó propensity-elméletek képtelenek ke- zelni az okság temporális aszimmetriáját, míg a hosszú távú propensity-elmélet nem sajátosan a kauzális viszony általánosításaként kezeli a valószínűséget.
A továbbiakban a szerző vázolja saját propensity-elméletét, melynek célja az, hogy a valószínűségről egy objektív, de nem relatív-gyakoriság interpretációt adjon. Gillies legfőbb motivációja saját interpretációja létrehozásakor az volt, hogy elkerülje von Mises operacionalizmusát. Először röviden vázol egy definíciós eljárást a newtoni mechanika tömegfogalmára hivatkozva, majd ezzel párhuzamba állítva ismerteti a valószínűségről vallott saját nézeteit. Azt állítja, hogy az új fogalmakkal és mérési eljárásokkal szemben mindig elsődlegesnek kell tartanunk az elméleteket, így az új fogalmak nem operacionális definíciók által nyerik el jelentésüket, hanem az a szerep határozza meg őket, amelyet elméletek egy rendszerében betöltenek. A newtoni mechanika esetében az empirikus törvények Galilei és Kepler törvényei. Newton törvényei mélyebbek, mert magyarázzák is az empirikus törvényeket, de egyben korrigálják és pontosabbá is teszik azokat. A newtoni elmélet azonban magában foglalja a tömeg primitív fogalmát, amelynek egy durva, kvalitatív előfeltevés ad empirikus jelentést, miszerint a Nap tömegéhez képest bármelyik bolygó tömege elhanyagolható. Hasonlóképpen kíván eljárni Gillies is: von Mises két empirikus törvényét veszi alapul, melyet a valószínűségelmélet lenne hivatott magyarázni és korrigálni. A valószínűség fogalmát nem a gyakoriság megfigyelhető jelenségére visszavezetve definiálja, hanem Newton tömegfogalmához hasonlóan, mint definiálatlan primitív fogalmat veszi fel. Ezen teoretikus terminust a valószínűségi állításokra vonatkozó falszifikációs szabályok kötik a tapasztalathoz, melyek megmutatják, hogy hogyan kezelhetjük a valószínűségi állításokat úgy, mint "gyakorlatilag falszifikálhatóakat", annak ellenére, hogy az ilyen jellegű kijelentéseket szigorú értelemben véve lehetetlen falszifikálni. Gillies igen plauzíbilisen érvel amellett, hogy a világban találhatóak olyan jelenségek, amelyek leírásához feltétlenül szükséges a valószínűség objektív interpretációja, továbbá ezen interpretáció nem vonatkozhat szinguláris eseményekre, ha nem akarjuk feladni azt a von misesi előfeltevést, mely szerint a valószínűséggel foglalkozó tudománynak empirikusan ellenőrizhető kijelentéseket kell tennie. Másfelől a szerző elveti von Mises operacionalizmusát, és így hozza létre saját megközelítését.
Említettük már, hogy Gillies valószínűségekre vonatkozó felfogása pluralista: egyszerre tartja a matematikai kalkulus adekvát interpretációinak a fent vázolt propensity-elmélet mellett a valószínűség szubjektív és interszubjektív interpretációit is. A szerző könyve hátralevő részében arról ír, hogyan viszonyulnak ezek a megközelítések egymáshoz. A szubjektív és interszubjektív elméletek e tekintetben nem okoznak különösebb problémát: az utóbbi nyilvánvalóan az előbbi kiterjesztése. Az igazi nehézséget a szubjektív és az objektív interpretációk viszonya jelenti, vagy némileg tágabban fogalmazva, az episztemikus és az objektív valószínűség-értelmezések kapcsolata. Gillies konklúziója e kérdés vonatkozásában az, hogy az episztemikus interpretációk fő alkalmazási területei a társadalomtudományok, míg az objektív interpretációké a természettudományok. Fő érvei emellett a következők: először is a társadalomtudományok esetén nehéz specifikálni kezdeti feltételek egy halmazát, amely máskor ismételhető lenne, amely feltétel alapvető a propensity-elmélet számára. A másik érve emellett az, hogy szerinte az operacionalizmus megengedhetetlen a természettudományok területén, ellenben elfogadható a társadalomtudományok vonatkozásában és míg saját propensity-elméletében a valószínűség nem operacionálisan definiált, addig a szubjektív interpretáció valószínűségfogalma a fogadási helyzet által ily módon meghatározott. Gillies érvelésének számomra ez a legkétségesebb része. Nemcsak azért, mert, mint Okasha megjegyzi (p. 155), a gyakorlatban igenis előfordulnak operacionális definíciók a természettudományokban és nem operacionálisan definiált fogalmak a társadalomtudományokban (például a genetika öröklődés fogalma, vagy a marxi elidegenedés fogalom), hanem azért is, mert igazából nem jól definiált ez a két terület. "A valószínűség szubjektív elmélete a hit fokainak a mérésével foglalkozik, és így a pszichológiához tartozik, a humán, vagy társadalomtudományok egyikéhez" - írja Gillies (p. 200.). A szerző elfogadja Ramsey azon állítását, mely szerint "a formális logikát objektívan úgy interpretálhatjuk, mint tautológiák egy halmazát, szubjektívan pedig, mint a konzisztens gondolkodás törvényeit" (1926, p. 188; idézve Gillies, p. 182). De Gillies valójában nem nyújt kritériumot arra nézve, hogy miért kéne a hitek mérését, és így a szubjektív interpretációt a pszichológiához tartozónak tekinteni, hacsak azt nem, hogy a hitek a "mentális szférához" tartoznak. Ha azonban ez így van, akkor a logika szubjektív aspektusát is tekinthetnénk a pszichológiához tartozónak, mint amelynek tárgya egy bizonyos típusú gondolkodás. Így tehát a fentiek alapján a logikában is alkalmazható lenne az operacionális definíció, ami ebben a formában biztos, hogy nem állja meg a helyét. Mindemellett elismeri, hogy vannak olyan tudományterületek, amelyek nem sorolhatóak be egyértelműen semelyik nagyobb csoportba sem, hanem átmenetet alkotnak a kettő között. Azért, hogy fenntarthassa azon állítását, hogy minden tudománytípushoz tartozik egy adekvát valószínűség interpretáció, a szubjektívtól a teljesen objektívig ívelő skálát igyekszik kontinuusabbá tenni az artefaktuális valószínűségek bevezetésével. Artefaktuális valószínűségeknek azokat a valószínűségeket nevezi, amelyeket az ember és természet interakciójának eredményeképpen kialakult eseményeknek tulajdonítunk. Ilyennek tekinti például a pénzdobálás eredményeihez rendelt valószínűségeket. Ez a felosztás véleményem szerint nagyon kétséges, hiszen a valószínűségek tulajdonítását tekinthetjük egyfajta mentális kategorizációnak. Az artefaktuális valószínűségek bevezetése azt legalábbis kérdésessé teszi, hogy pontosan a mentális kategorizáció miatt nem válnak-e a Gillies által "teljesen objektív"-nak nevezett valószínűségek is artefaktuális valószínűséggé, hiszen nehezen elképzelhető az, hogy hogyan tulajdoníthatunk valaminek valószínűséget anélkül, hogy interakció menne végbe ember és természet között. Ezáltal viszont épp a szerző eredeti szándéka hiúsul meg, hiszen ugyanúgy nem tudja kezelni a természettudományok és társadalomtudományok határmezsgyéjén lévő eseteket.
A kritikai megjegyzések ellenére Donald Gillies kitűnő könyvet írt, amely amellett, hogy világos áttekintést nyújt a már meglévő elméletekről és a kapcsolódó nehézségekről, problémákról, saját megközelítésekkel is gazdagítja a valószínűségi interpretációkat. A könyv további előnye, hogy egyaránt foglalkozik filozófiai és matematikai jellegű problémákkal, de felépítése lehetővé teszi, hogy a matematikában kevésbé jártas olvasó is rendszerezett képet kapjon a valószínűség fogalmának lehetséges interpretációiról. Az egyes megkö-zelítések és a hozzájuk kapcsolódó problémák sikeres megvilágításá-hoz nagyban hozzájárul, hogy a szerző állításait rengeteg példával szemlélteti, melyeket oly módon vázol, hogy ezek megértéséhez csak nagyon alapvető természettudományos ismeretek szükségesek. Mindent összevetve Gillies könyve hasznos olvasmány lehet a témában még járatlanok és a már elmélyültebben érdeklődők számára is.
IRODALOM
Howson, C. és Urbach, P. (1989): Scientific Reasoning. The Bayesian Approach, Open Court.
Jaynes, E. T. (1973): "The Well-Posed Problem", Foundations of Physics 4(3): 477-92.
Keynes, J. M. (1921): A Treatise on Probability, Macmillan, 1963.
Okasha, S. (2002): 'Review', British Journal for the Philosophy of Science 53, 151-156.
Popper, K. R. (1934): The Logic of the Scientific Discovery, Hutchinson, 1972.
- (1990) A World of Propensities, Thoemmes
Ramsey, F. P. (1926): "Truth and Probability", in Ramsey, 1931, 156-98.
* Donald Gillies: Philosophical theories of probability, Routledge, London, 2000.