A REJTÖZKÖDŐ PÁRHUZAMOSSÁG *


TANÁCS JÁNOS


"A tárgyak semmifajta kezelésmódja

sem emelkedik a másik fölé.

A matematikai megismerés nem szigorúbb,

mint a filológiai-történeti.

Csupán »egzakt«, de ez nem azonos

a szigorúsággal."

(Martin Heidegger: Mi a metafizika?)


A magyar matematikának, sőt a magyar tudománynak és kultúrának van egy sokat dédelgetett hőse: Bolyai János. Emellett azonban Bolyai János munkássága a matematikatörténet tudományának vizsgálati tárgyát és matematikafilozófiai elemzések kiindulópontját képezi. Az előbbiek okán Bolyai messzemenően több, mint a matematikatörténet-írás érzelmektől távol tartható, semleges alanya; sokkal inkább mítosz. A mítosz ápol és a mítoszt ápolni illik - azonban az olyan valós, vérbeli figurák esetén, mint József Attila vagy Bolyai János, a mítosz el is takar. Különösen megnehezíti a tárgyilagos bánásmódot, ha olyan eredendő lelkiismeret-furdalással közelítünk a témához, mint Bolyai esetében tenni szoktuk. Az élve, később pedig jeltelen sírba eltemetett, saját korában rangján alul értékelt és mellőzött, majd elfeledett zseni mítosza, akinek személyére és művére a magyar tudomány figyelmét jókora késéssel a külföldi tudománynak kellett felhívnia, nem múló lelkiismeret-furdalásunkat eredményezi. Tóth Imre azonban arra figyelmeztet, hogy a nem-euklideszi geometria meg nem értettsége keletkezésekor, és még sokáig utána sem egyedülálló, főként pedig nem a honi tudományos élet állapotából (értsd: elmaradottságából) eredeztethető jelenség.

A mítosznak azonban megvan a maga matematikatörténeti vetülete is, amely Bolyai fő művének standardizálódott olvasatában összegződik. A standard nézet egy első látásra meglehetősen egységes képet tár elénk azzal kapcsolatban, hogy az Appendix mit és hogyan foglal magában. Az egymást első körben kölcsönösen megerősítő álláspontok szövevényéből álló nézetet közelebbről szemügyre véve olyan finom, de nem jelentéktelen eltéréseket találhatunk, amelyek végül elvezetnek az egész álláspont megkérdőjelezéséhez.



Bolyai János Appendixének standard

matematikatörténeti nézete


A mindig aktuális tudományos szempontoktól független apropót Bolyai János születésének kétszázadik évfordulója mellett Simonyi Károlynak a Természet Világa különszámaként nemrégiben megjelent A magyarországi fizika kultúrtörténete (XIX. század) című munkája szolgáltatja. Simonyi a mű második, Eukleidész a pszeudoszférán című fejezetét szentelte a Bolyai-Lobacsevszkij-féle nem-euklideszi geometriának, természetesen a magyar vonatkozások előtérbe állításával.

Az a matematikatörténet-írási tézis, amelyet vitatni kívánok, meglehetősen vegytisztán jelenik meg Simonyi Károly dolgozatában. Simonyi, természetesen, korántsem egyedüli képviselője e nézetnek. Az Appendix, vagy általánosabban a Bolyai-geometria standard matematikatörténeti nézetének képviselői közé kell számítanunk Dávid Gyulát, Kárteszi Ferencet, Weszely Tibort, Tóth Imrét valamint Vekerdi Lászlót is.

A tézis azt állítja, hogy (1) a mű első paragrafusában (2) nem más, hanem maga Bolyai János az, aki (3) a párhuzamosságot értelmezi, definiálja vagy újradefiniálja.1 Különbség pusztán a tézis megfogalmazásainak harmadik feltételében mutatkozik, ám ezt a nézet maga nem problematizálja.

E tézis tarthatósága - a harmadik feltétel közös, legjóindulatúbb értelmezése mellett is - minimálisan megköveteli, hogy a mű első paragrafusában explicit módon megjelenjék a "párhuzamosság" - vagy a neki megfeleltethető kifejezés. Egyszerűbben: Bolyai Jánosnak e terminust az inkriminált helyen közvetlenül használnia kell.



A "párhuzamosság" hiánya

az első paragrafusban


Mielőtt nekifognánk, hogy az Appendixre érvényes megállapításokat tegyünk, tisztáznunk kell, hogy mit is keresünk valójában? Az óvatosság oka, hogy az Appendix nem magyarul, hanem latinul íródott - így a "párhuzamos" szóra, mint magyar kifejezésre nem számíthatunk. A "párhuzamos" a magyar nyelvújítás korának terméke, amely csupán egyetlen a "paralléla" magyar műszóval történő helyettesítésére tett számos javaslat közül. A versenyt, mint látható, a "párhuzamos" nyerte, ám e küzdelmet a "parallel" terminus, jelenlegi hétköznapi ismertségét tekintve, bizonyos értelemben maga is túlélte.

A párhuzamosság problémájának történeti forrásául Eukleidész Elemek című munkája számított, legalábbis a megoldásával kísérletező geométerek történeti közösségen belül.2 A "párhuzamosság" Elemekben szereplő kifejezése "παράλληλoÎś" alakban Arisztotelész korára már ismert és használt kifejezéssé vált;3 később e kifejezés került át a latin nyelvbe is, úgynevezett háromvégződésű melléknévként. E kifejezés hímnemű alakja a "parallélus", míg nőnemű alakja a visszatérően felbukkanó "paralléla". A nőnemű alak azért választódott ki és önállósodott, mert ragozásának a szintén nőnemű "linea" (vonal) szóhoz, vagy a már jelzővel ellátott "linea recta" (egyenes vonal) szókapcsolathoz kellett igazodnia.

Ezek után nekifoghatunk a kérdés megválaszolásának, hogy alátámaszthatóak-e a bevett nézet első paragrafussal kapcsolatos kijelentései? Az első paragrafusban, a nézettel összhangban, a 'parallélus'-ra utaló terminusnak kell szerepelnie, míg a megengedhető eltéréseket a latin nyelv ragozási sajátosságai szabják meg. Akinek keze ügyében van Kárteszi műve (amely közli az Appendix fakszimile-másolatát), vagy Simonyi fizikatörténeti vázlata (amelyben az inkriminált rész szintén megtalálható), könnyűszerrel leellenőrizheti, hogy a "parallélá"-ra utaló, vele kapcsolatba hozható kifejezés az Appendix első paragrafusában egyáltalán nincs. Ezt a Simonyi által megadott magyar fordítás ismételt, figyelmes olvasása is megerősíti. Ha ugyanis nem tartjuk természetesnek, hogy lássunk valamit, ami nincs ott, vagy értelmezzük a szöveget olyasvalami alapján, amihez magából a műből, a szerzőtől nem kapunk semmilyen támpontot, akkor, tárgyilagosan szemlélve, a "párhuzamosság"-ra a magyar fordításban sem utal semmi! (Simonyi 2001: 34.) Ha van is ott bármi, akkor az korántsem a maga "természetességében" található meg!

A párhuzamosok problémája és története által kitüntetett, továbbá a mű nyelvének figyelembevételével valóban megalapozottan odaillő kifejezés nem jelenik meg az első paragrafusban. Ennek következtében bármely további értelmezésnek körültekintőnek és alaposnak kell lennie, továbbá saját álláspontja és a Bolyainak tulajdonított álláspont határozott elkülönítésére kell törekednie.

Az az ellenvetés bukkanhat fel, hogy az első paragrafusban található különös 'ǀǀǀ' jel hivatott a "párhuzamosság" jelölésére. Az indoklás szerint e talányos jelölés célja a korábbi, "szemléletes euklideszi fogalmaktól" történő eltávolodás és eltávolítás. Az ilyen jellegű magyarázatok az első paragrafussal kapcsolatos probléma nyílt beismerése helyett a nézet burkolt formában történő megmentésére tesznek kísérletet. A szokatlan jel vagy jelek értelmére, és általában a jelhasználatra irányuló kérdés mindenképpen jogosult, ám az adott esetben a párhuzamosság megnevezésének, értelmezésének, definíciójának semmiképpen sem tekinthető. A probléma legnyíltabb vállalása és legkifejlettebb védelme Salló Ervin tudománytörténeti vázlatában (1974) jelenik meg. Salló szerint az Appendixben:

"Bolyai János szimbolisztikája bonyolult kifejezéseket pótol. S ezt nemcsak a tömörség kedvéért teszi, hanem azért is, mert el akarja kerülni a szemléletességtől átitatott hagyományos terminológiát. Az »Appendix« mondanivalója a párhuzamosok problémája körül kristályosodik, mégis a »párhuzamos egyenes«, ill. »párhuzamos« kifejezést Bolyai J. az »aszimptota« szóval helyettesíti és ezt is csak egyszer használja (egy lábjegyzetben), a szövegben mindig ǀǀǀ jel fordul elő. S joggal, hiszen az »Appendix« 1. §-ában meghatározott »párhuzamosság« tisztán logikai jellegű és összeegyeztethetetlen a párhuzamosságnak szemléletünk által megszokott, euklideszi meghatározásával."4

A helyzet tovább bonyolódott, a standard nézet szemszögéből pedig egyértelműen rosszul alakul. Ezek szerint ugyanis a párhuzamosság első paragrafusbeli értelmezését mindössze egyetlen helyen, a lábjegyzetben megadott "aszimptota" támasztaná alá. Ily módon messzebb kerültünk a "párhuzamosság"-tól, mint ahol a védelem fellépése előtt álltunk. Salló pedig explicit módon azt is beismerte fejtegetése során, hogy az első paragrafusból a "valóban odaillő" terminusok tényleg hiányoznak. Ami alátámasztható marad, az mindössze az "aszimptota" kifejezés és az első paragrafus közti összefüggés - ám ez is csak áttételesen, egyetlen lábjegyzet-hivatkozás révén!5 Salló műve mindenesetre párját ritkítja annyiban, hogy nem elmossa, hanem kiemeli az első paragrafus tartalma és az álláspont szokásos megfogalmazása között feszülő szakadékot, és explicit magyarázatot kínál áthidalásukra.


Az Appendix jelmagyarázata,

jel- és fogalomhasználata


Térjünk vissza az Appendix belső világához, és vegyük újfent górcső alá.

Az Appendix egyik nagyon különleges vonása a mű elején közölt Explicatio signorum, azaz egyfajta jelmagyarázat. E rendkívül pontos és részletes jelmagyarázatban Bolyai János előre megadja bizonyos jelek értelmezését, így például: merőleges, szög, derékszög, kongruencia (egybevágóság), határérték, az 'r' sugarú kör kerülete, illetve területe és mások. Ez az előrebocsátott jelmagyarázat hasonlít, és egyben igazodik is Bolyai Farkas Tentamenjének eljárásához, amelynek függelékeként az Appendix megjelent. Bolyai János természetesen alkalmaz a műben olyan további jelöléseket, amelyek a jelmagyarázatban nem kerültek értelmezésre. Ilyen külön nem értelmezett jelek a következők: +, Ę–, Ę–, =, 0, π, sin, cos, tang, cot, lognat, Δ, , sinvers, i és a hatványozás szokásos jelölései. Ezek egy részét valóban úgy tekinthetjük, mint triviálisan ismert, előzetes értelmezésre nem szoruló vagy önmagukért beszélő jelöléseket. Bolyai azonban az Explicatio signorum keretében nem értelmezi sem az első paragrafusban bevezetett 'ǀǀǀ' jelet, sem a huszonkettedik paragrafusban bevezetett 'ǀǀ' jelet. Előbbit a legelőször nem metsző (fél)egyenes, míg utóbbit az egyenlő távolságú L-vonalak jelölésére használja. Mindkét jelre igaz, hogy Bolyai nem kapcsol hozzájuk az euklideszi fogalmi rendszerben használatban lévő kifejezéseket, így a "párhuzamosság" kifejezést sem. Bolyai tehát sem a jelmagyarázatban, sem a jelek bevezetésének módjában nem tesz különbséget közöttük. Mindezek következtében nincs alap arra, hogy a bevett nézet rá hivatkozva az első paragrafusban bevezetett jelhez inkább hozzárendelhesse a kérdéses terminust, mint a másikhoz.



A nem-euklideszi geometria fogalmi

meghatározatlansága


Az utóbb bevezetett 'ǀǀ' jelnek megfeleltethető fogalom az ekvidistancia, vagy egyenlőtávúság, vagy, a korabeli nyelvnek megfelelően, az egy(en)közűség. E fogalom pedig az euklideszi geometrián belül (de csakis ott!) szinonim a párhuzamossággal. A helyzetet bonyolítja, hogy az euklideszi geometriában nem kettő, hanem három kifejezés jelentésének kölcsönös szinonimitása áll fenn. Itt ugyanis síkbeli egyenesekre a "párhuzamos", a "nem-metsző" és az "egyenlő távolságú" kölcsönösen azonos jelentésűek. A nem-euklideszi geometria fogalmi rendszerébe belépő, sőt terminológiájának megteremtése előtt álló geométer azzal a problémával találja szemben magát, hogy az euklideszi geometriában érvényes szinonimitások a nem-euklideszi geometriában nem tarthatóak fenn együttesen ellentmondás nélkül. A nem-euklideszi geometriában a szinonimitási viszonyok megszűnése következtében egyfajta fogalmi meghatározatlanság áll elő. E meghatározatlanság eredményeként az úgynevezett "fogalmi általánosítás" iránya nem adott egyértelműen, ez azonban nem az "euklideszi fogalmak szemlélethez kötöttségének", vagy "empirikus feltöltöttségének" következménye. Az euklideszi síkon ugyanis a párhuzamosságnak nincs, nem is lehet külön jelzője, legfeljebb triviálisan üres és semmitmondó. A nem-euklideszi síkon azonban már van értelme aszimptotikus és nem-aszimptotikus parallélákról beszélni. Ekkor a párhuzamosság, akár tudatosan, akár öntudatlanul is a 23. euklideszi, úgynevezett nominális definícióval azonos értelemben a nem-metszéssel került azonosításra. Ilyen és csak ilyen értelemben pedig éppen hogy megtartja, és nem újradefiniálja a párhuzamosságot. E fogalmi kiterjesztés mellett voksolva az "aszimptotikusság" az irányítást figyelembe véve egyet, irányítás nélkül két egyenest jelöl ki a nem-metszők, azaz a párhuzamosok közül. Itt tehát a jelző nem üres és nem semmitmondó. A "nem-aszimptotikus parallélák" pedig nem aszimptotikus és egymást nem metsző egyeneseket írnak le. Itt egyúttal az is megmutatkozik, hogy az euklideszi rendszerben még egyértelmű definíció hogyan válik határozatlanná a nem-euklideszi geometriában. Ez azonban csak az egyik, és nem az egyedüli a választható fogalmi kiterjesztések közül.

Egy másik lehetséges alternatíva az euklideszi nominális definíció feladása lehetne, legalábbis azon vonatkozásában, hogy minden síkbeli nem-metsző egyenest párhuzamosnak tekintsünk. Nevezhetnénk például párhuzamosnak az Appendix legelső paragrafusában jellemzett, a forgatás során előálló legelső nem-metszőt. Ekkor azonban a párhuzamosság magában foglalja az aszimptotikusságot, jelzőként történő szerepeltetése pedig újra csak semmitmondó lenne. Ebben az esetben a "párhuzamos" nem azonos jelentésű a "nem-metsző"-vel, az "ultrapárhuzamos" pedig a nem-metszők osztályán belül jelöli ki a nem-párhuzamosakat. Ezt az alternatívát az euklideszi nominális definícióra vonatkoztatva joggal nevezhetnénk a párhuzamosság újradefiniá- lásának.

A fogalmi kiterjesztés lehetséges harmadik útját a "párhuzamosság" és az "egyenközűség" szinonimitásának nem-euklideszi geometrián belüli fenntartása egyengeti. Azt pedig, hogy e kettő - empíriától vagy hétköznapi szemlélettől függetlenül - milyen szorosan tapad össze, és milyen nehéz egyiket a másikról leválasztani, a következő két példával szeretném illusztrálni - mindkettő a standard nézet képviselőitől származik. Az első Kárteszi Ferenc Appendix-kommentárjából (1973:141.):


"Ha a paraciklust önmagában eltoljuk - a tengelyeket a görbéhez mereven kötöttnek képzeljük -, egy tengelynek bármely pontja paraciklust ír le. Az így származtatott paraciklusokat egymáshoz képest párhuzamos vagy egyenlőközű paraciklusoknak nevezzük."


A szerzőtől származó kiemelés külön nyomatékot is ad a két terminus szinonimitásának. Hasonlóan vélekedik Weszely Tibor, aki szerint Bolyai az "Appendix 22-24. §-aiban az egymástól ugyanolyan távolságra futó, tehát közös tengelyekkel rendelkező paraciklus ívekre vonatkozó tételeket bizonyít", és "ezek a paraciklusok bizonyos értelemben párhuzamosaknak tekinthetők, mely viszonyt a "ǀǀ" szimbólummal jelöli" (Weszely, 1981: 87.). E "bizonyos értelem" éppen a párhuzamosság euklideszi geometriából származó egyenközűség-értelme.



A párhuzamosság tényleges értelmezése

Bolyainál


Tézisem az, hogy bár a "paralléla" kifejezés nem jelenik meg explicit módon sem az első paragrafusban, sem az Appendix egészében, rejtőzködve mégis megbújik a műben. Nem ott található azonban, ahová eredetileg vártuk, vagy ahol lenni hittük, hanem az elméletileg indokolható másik helyen. Egészen pontosan a 22. §-ban bevezetett jel fedi e kifejezést. Ezek mellett a következők szólnak.



1. Bolyai kritikai megjegyzései Lobacsevszkij művéről


Bolyai János 1850 körül részletes észrevételeket fűzött Lobacsevszkij Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien (Geometriai vizsgálatok a párhuzamosok elméletének köréből) című művéhez. A címet követően a mű tizenhatodik szakasza az első hely, ahol Lobacsevszkij a "parallellinien" kifejezést használja. Habár a "definíció" kifejezést Bolyaihoz hasonlóan ő is kerüli, ám esetében igaz, hogy e terminust definíciószerűen vezeti be. Az inkriminált rész Lobacsevszkij művében a következőképpen hangzik:


"16. A síkban az egy ponton átmenő egyenesek, egy adott egyeneshez való viszonyukat tekintve, két osztályba sorolhatók: a metszők és a nem metszők osztályába.A két osztály határát alkotó egyenest az adott egyenessel párhuzamosnak nevezzük."6


Lobacsevszkij műve tehát többé-kevésbé megfelelne a standard nézet álláspontjának, így esetében helyénvaló a "parallel(linien)" "párhuzamos (vonal)"-ként történő magyarra fordítása is, például a mű címében.

A "parallel" szó közvetlen használata Lobacsevszkij művében, továbbá Bolyainak a művel kapcsolatos - rá jellemző módon nyelvileg rendkívül aprólékosan, magyar nyelven megfogalmazott - kritikai megjegyzései megengednek néhány észrevételt. Ezek egy részét már Paul Stäckel múlt század elején tett reflexiói is előrevetítik, így az ő kommentárjába ágyazva idézem Bolyaiét:


"A 25. § után, amelyben a parallelákra (vagy szerinte7 az asymptotákra) vonatkozó tételek véget érnek,8 János kifejti, hogy e tant a tervezett »tökélyes rendszerben« milyen sorrendben fogja előadni.

»Az Appendix« 1. §-a három részre szaggatva: melyből az első a szintér' magyarázatát foglalja magában.» A"9


A fordító, Rados Ignácz lábjegyzetben adja meg a "szintér = szinte érő, asymptota" magyarázatát. Ez pedig az első paragrafusban körülírt határ-(fél)egyenes "aszimptota"-ként, és nem "paralléla"-ként történő azonosítását támasztja alá. A Bolyai által választott, különösen hangzó magyar szó, a "szintér" Bolyai Farkas Tentamenjének függelékeként megjelent Egy kis jelentésében az "asymptota" helyettesítésére tett javaslat.10 A "paralléla" felváltására benyújtott, rendelkezésre álló kifejezések a következők voltak: mellékes (Apáczai Csere János, 1653), egy köz arányu, egy arányos közü (Molnár, 1777), egyarányozatu, menetelü párvonás (Benyák, 1786), egyközü (Dugonics András, 1784), párhuzamos (Pethe, 1812), egyenközü (Kerekes, 1827), egyforma-közü (Kereky, 1835), egyenirányu, hasonirányu, hasonközü, parallel (Nagy, 1838), közegyenes (Tarczy, 1841).11 Mivel Bolyai János nem a "paralléla" helyett javasolt magyar szavak közül választ Lobacsevszkij művének fordításakor, ezért közvetett módon sem kapcsolja össze a "parallélá"-val az első paragrafust.

Ezek után Lobacsevszkij művének eredeti címét és a Bolyai által erre adott fordítást összevetve egy elsőre meglepő és nehezen értelmezhető jelenséget tapasztalunk.


"Észrevételek Lobatsewsky Miklós orosz császári valóságos tanácsnok és a kasani egyetembeni rendes tanárnak az egy-közű egyenek vagyis a' XI. Euklidi elv' tárgyában tett Berlinben 1840-évben ki-jött és a Fincke könyv-(kereskedő)-boltjában található ür-tani vizsgálataira nézve."12


Lobacsevszkij művének eredeti, teljes német címe:13


Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien von Nicolaus Lobatschefskij. Berlin 1840 in der G. Finckeschen Buchhandlung.


Bolyai fordításának és feljegyzésének alapossága megfelel a róla kialakult képnek, amely szerint általában a nyelvi-kifejezésbeli dolgok vonatkozásában éppen annyira szigorú volt, mint speciálisan a matematika birodalmán belül. A cím fordításánál a "parallellinien" kifejezést "egy-közű egyen"-nek fordítja - teljes összhangban azzal, ami a nyelvújítási javaslatok felől nézve várható.

Mivel azonban Bolyai a "parallel", "parallellinien" kifejezés különböző előfordulási helyeihez eltérő magyar kifejezéseket társít, ezért a két eltérő fordítási megoldás együttesen Bolyai inkoherens terminushasználatát mutatná. Megmagyarázható-e racionálisan e jelenség, vagy a Bolyairól kialakult képpel ellentétben mégis egyfajta fogalmi lazaságként, inkonzekvenciaként kell elfogadnunk?

A szinonimitások feladásának kényszerítő jellege és az alternatív fogalmi kiterjesztések lehetősége szolgáltatja számunkra e jelenség magyarázatát. A nem-euklideszi geometria felfedezőjének első lépésben van választási lehetősége, hogy a szinonimitási viszonyok mely elemét adja fel, és melyiket őrzi meg. A szinonimitási viszonyok fenntartására és feladására vonatkozó döntéssel szemben követelményként jelentkezik az adott fogalmi kiterjesztésen belüli belső ellentmondások és következetlenségek elkerülése. Egy-egy fogalmi kiterjesztés önmagában konzisztens és konzekvens lehet, ám e kiterjesztések egymáshoz viszonyítva nem lesznek kölcsönösen egyértelműek: az egyik fogalom-rendszerből a másik inkonzekvensnek látszik, és fordítva. A két fogalmi rendszer, és nem az őket hordozó természetes nyelvek (a magyar és a német) azok, amelyek nem fordíthatóak le egymásra egy az egyben. Az előbb felszínre hozott jelenség tehát azt mutatja, hogy Bolyai János és Lobacsevszkij a fogalmi meghatározatlanság feloldására nem azonos utat választottak, és Bolyai saját fogalmi kiterjesztésének belső konzisztenciája védelmében kényszerül Lobacsevszkij terminusainak látszólag inkonzekvens fordítására.

A cím fordításakor, ahol nem áll "tartalom", például tétel, a kifejezés mögött, Bolyai egy terminus-terminus megfeleltetést valósít meg. Ez azonban arra mutat, hogy Bolyai János számára a "parallelizmus" nem a nem-metszéssel, hanem az egyenközűséggel volt szinonim. Másként kifejezve: Bolyai nem az euklideszi 23. definíció által meghatározott értelmet kapcsolta a "paralléla" kifejezéshez.

Ezek után természetesen mindazokhoz a helyekhez, ahol Lobacsevszkij művének kontextusa megszabja tartalmilag, hogy Lobacsevszkij mit ért vagy mire alkalmazza a "parallellinien" kifejezést, Bolyai már nem társíthatja a cím fordításakor használt kifejezést. A 16-25. szakaszok kapcsán Bolyai tartalmi fordítást végez: azt a terminust használja, amely szerinte a "dolog lényegére mutat".14



2. Az Appendix rejtőzködő parallélája


Az előző szakasz kronológiai adatai alapján a történeti forrás keletkezési ideje meglehetősen távol esik az Appendix születésének időszakától. E történeti bizonyítékok kronológiai adatoktól történő függetlenítése az Appendix visszamenőleges interpretálásának céljából elfogadhatatlan lenne. Eredményeink a mű születésének idején érvényben lévő fogalmi rendszerről, a fogalmi általánosítás aktuális stádiumáról közvetlenül nem mondanak semmit. Ahhoz azonban mindenképpen elégségesek, hogy megnyissák az utat a következő alternatíva előtt: vagy (1) az idők során jelentékenyen változó, vagy (2) időben többé-kevésbé konstans, ám a bevett nézetétől eltérő parallel értelmezést kell Bolyainak tulajdonítanunk. A standard nézet jelentős módosítások és finomítások után összeegyeztethető lenne az első esettel. Ám még ebben az esetben is figyelembe kellene vennünk, hogy a - minden valószínűség szerint fogalmi kiérleltséget eredményező - kései időszakban olyan végpontra jut el a paralléla- fogalom Bolyainál, amely ellentmond a bevett nézet által képviselt álláspontnak. Továbbra is fennáll azonban a kérdés, vajon rekonstruálható-e az Appendix keletkezésekor érvényben lévő fogalmi-terminológiai állapot? Eddigi, különösen a kései stádiumra vonatkozó eredményeink arra ösztönöznek, hogy még egyszer, alaposan átfésüljük a művet.

Először is érdemes felfigyelnünk arra, ahogyan Bolyai az értelmezett jeleket, például a háromszög "Δ", a szög "Λ" vagy a merőlegesség "Ę–" jeleit kezeli. A szövegben ugyanis a következő sajátos formákat találjuk:


Δlo, Δlorum, Δli, Δla

Λlus, Λlum, Λli, Λlo, Λlos, Λlorum

ëri, ëres, ëria, ërium,ëribus, ëriter


Az alapjeleket a jel által lefedett latin kifejezés ragozott alakjainak megfelelő toldalékok egészítik ki.15 Hasonlóan ahhoz, mint amikor a háromszög rövidítésére bevezetett "Δ" jel használatával továbbra is szeretnénk megőrizni a szöveg helyes, értelmes és összefüggő kiolvashatóságát. Ekkor például a "háromszögek" a "Δek", esetleg "Δ-ek", a "merőlegesek" pedig a "ëen", vagy "ë-en", formában volna kifejezhető. A Bolyai által eredetileg megadott latin szó, nyelvtani jellemzőinek (szófaj, nem, ragozási típus és esetei) figyelembevételével tökéletesen simul bele a szövegbe. Ezt az Akadémia 1903-as kiadása is megerősíti, amely éppen ennek megfelelően "írta" át az Appendix új kiadását és tüntette el e jelenséget.

Az inkriminált jelek közül az egyiket, a 'ǀǀ' jelet a következő különös és beszédes előfordulási formákban is megtaláljuk: ǀǀlam (Appendix, p.16., 32.§), ǀǀla, ǀǀlae és ǀǀlas (Appendix, p. 17., 32.§).16 A jelhez járuló toldalékok megszabják, és igen erősen leszűkítik a jellel lefedhető kifejezések körét. E szűkítést egyébként nagymértékben megkönnyíti, hogy Bolyai nemcsak a ragozási osztály (declinatio) esetről esetre változó végződését, hanem a változatlan szótő utolsó betűjét is feltünteti. Végül is a geometria történetileg érvényben lévő fogalmi-terminológiai készlete, az Appendix specifikus jelkészlete és ennek a műben alkalmazott következetes és informatív használata együttesen arra mutatnak, hogy a 'ǀǀ' jel kizárólag a "paralléla" kifejezéssel tölthető ki. Ez pedig megegyezik mind a kései feljegyzésekből rekonstruált, mind az elméletileg is megalapozottan várható terminushasználattal, azaz az általam kínált magyarázati kerettel.

Mindezek következtében azt állítom, hogy az Appendixen belül nem az első paragrafus és nem a 'ǀǀǀ' jel, hanem a huszonkettedik paragrafus és az ott bevezetett 'ǀǀ' jel hozható összefüggésbe a "paralléla" terminussal.



Konklúziók


Meg kell-e ijednünk ezektől az eredményektől, kell-e félnünk Bolyai trónfosztásától? E kérdéseket, megválaszolásuk helyett, mint a tudományhoz méltatlanokat kellene elutasítanunk. Most azonban mégis szükségesnek tartom, hogy megválaszoljam őket. Bolyai teljesítménye a mértékadó matematikatörténeti és -filozófiai, sőt rendszerint a tisztán matematikai művek számára is kétségtelen, felfedezői státusa elvitathatatlan. A felfedezés elsősége körüli történetírási vita Lobacsevszkij és Bolyai megosztott első helyével eldőlt, magam is lezártnak tekintem. Mindezek következtében Lobacsevszkij és Bolyai, sőt Gauss műveinek, eredményeinek homogenizálása helyett - amely a prioritási vita következményének látszik lenni - a fogalmi és tartalmi azonosságok és különbségek együttes, elfogulatlan vizsgálatát, a művek kritikai összevetését szorgalmazom. A hasonlóságok és eltérések elismerése tenné ugyanis lehetővé a felfedezés módszertanára és heurisztikájára, azaz a matematikai megismerésre irányuló általánosabb kérdések felvetését. E felfedezés - a matematikai és általánosabban az emberi megismerésben betöltött - korszakalkotó jellegének a mítosz saját képünkre formálása helyett a valódi folyamat megragadására kell sarkallnia bennünket. Az a kivételes lehetőség, amelyet a független egyidejű felfedezések következtében rendelkezésre álló különböző források lehetővé tennének számunkra az absztrakt-fogalmi megismerés tanulmányozásához, olyan alkalom, amelynek elszalasztása igazolha- tatlan. Bolyai János mélyen hitt felfedezésének átütő és korszakalkotó voltában - ezért is utasította el Gauss eredményeinek visszatartásával kapcsolatos mentegetőzését. Nekünk már elég hinni az ő hitében - és hinni kell saját legjobb tudományos hitünkben:


"És valóban, a nélkül, hogy el nem árulnók gyengénket és gyenge jelleműeknek nem mutatkoznánk, [az előbbit ] sohasem hozhatjuk fel annak megokolására, hogy, az ilyen még homályos tárgyakra vonatkozó bevált saját munkáinkat miért tartjuk vissza."

"Mi más egyébről van szó a tudományokban, mint épen arról, hogy a homályos dolgokat tisztázzuk, és azt a mi hiányzik, előteremtsük?"17





Cikk eleje Cikk vége Jegyzetek Bezárás



IRODALOM




Bolyai, Wolfgang de Bolya (1897-1904): Tentamen. Juventutem studiosam in elementa matheseos purae, elementaris ac sublimioris, methodo intuitivo evidentiaque huic propria, introducendi, Editio II. Budapestini, 1897-1904. I-III. kötet

Bonola, Roberto: Non-euclidean geometry. A Critical and Historical Study of its Developments, Dover Publications

Dávid Lajos (1944): Bolyai-geometria az Appendix alapján, Minerva

Eukleidész (1983): Elemek, Budapest: Gondolat (Fordította: Mayer Gyula)

Fauvel, John-Gray, Jeremy (1987): The History of mathematics: A Reader,, London: Macmillan Press LTD

Heath, Thomas L. (1956): The Thirteen Books of Euclid's Elements, New York: Dover Publications, Inc., Second Edition.

Kárteszi Ferenc (1973): Bolyai János: Appendix. A tér tudománya, Budapest: Akadémiai Kiadó

Keresztesi Mária (1935): A magyar matematikai műnyelv története, Debrecen: Harmathy Nyomdavállalat

Lobacsevszkij, N. I. (1951): Geometriai vizsgálatok a párhuzamosok elméletének köréből (V. F. Kagan bevezetésével, magyarázataival, függelékével), Budapest: Akadémiai Kiadó (Fordította Bizám György)

Neumann Mária- Salló Ervin-Toró Tibor (1974): A semmiből egy új világot teremtettem, Temesvár: Facla Könyvkiadó

Reichardt, Hans (1985): Gauß und die nicht-euklidische Geometrie. Mit Originalarbeiten von J. Bolyai, N.I. Lobatschexski und F. Klein, Leipzig: BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft.

Salló Ervin (1974): "A geometria két évezrede (Tudománytörténeti vázlat EUKLIDÉSZ előzményeitől BOLYAI JÁNOS utánig)", in: Neumann-Salló-Toró

Simonyi Károly (2001): A magyarországi fizika kultúrtörténete (XIX. század), A Természet Világa 2001. évi I. különszáma,

Stäckel Pál (1914): Bolyai Farkas és Bolyai János geometriai vizsgálatai, I-II.kötet, Budapest: Magyar Tudományos Akadémia ( Fordította Rados Ignácz)

Torretti, Roberto (1978): Philosophy of Geometry from Riemann to Poincaré, Dordrecht: D. Reidel Publishing Company,

Tóth Imre (1953): "A Bolyai-geometria filozófiai vonatkozásai", in: Bolyai János élete és műve, Bukarest: Állami tudományos Könyvkiadó, pp. 257-340.

Tóth Imre (2000): Isten és geometria, Budapest: Osiris Kiadó

Vekerdi László (1994) [1962]: "A tudománytörténetírás történetéről", in (uő.): Tudás és tudomány, Budapest: TypoTEX Kiadó, pp. 5-44.

Weszely Tibor (1981): Bolyai János matematikai munkássága, Bukarest: Kriterion Könyvkiadó



Cikk eleje Cikk vége Irodalom Bezárás



JEGYZETEK




* A dolgozat elkészítését az OTKA F032062. És a T037054. számú pályázata támogatta.

1 Vö. Dávid Gyula (1944:37-8.), Kárteszi Ferenc (1973: 124.), Simonyi Károly (2001:34.), Tóth Imre (1953:293.), Vekerdi László (1994:8-9.), Weszely Tibor (1981:65.), uő. (1981:83.) és uő. (1981:137.). A nemzetközi szakirodalomból lásd például Fauvel-Gray (1987: 528-9.) valamint Torretti (1978: 56.)

2 Tóth (2000: 144-5.)

3 Heath (1956:190.)

4 Lásd Salló (1974:34-35.)!

5 Az első paragrafus és az aszimptota közötti kapcsolat, valamint az "aszimptota" és az "aszimptotikus paralléla" elég heterogén módon jelenik meg a bevett nézet egyes szerzőinél, az utóbbi kettő egymással történő azonosítása pedig önmagában is problémákat vet fel. Az eltérések összevetéséhez kiindulópontul lásd az 1. Lábjegyzet alatt megadott hivatkozásokat!

6 Lobacsevszkij (1951:43.)

7 Értsd: Bolyai János szerint

8 Értsd: Lobacsevszkij művében

9 Stäckel (1914: 139.)

10 Bolyai, Wolfgang (1904: 406.), Tentamen II. kötet

11 Keresztesi (1935:144.)

12 Stäckel (1914: 135.)

13 Lobacsevszkij művét közli például Reichardt (1985).

14 Bolyai Farkas kifejezése.

15 A "Δ" jelnek a "triangulum", a "" jelnek az "angulus", a "" jelnek pedig a "perpendicularis" kifejezés felel meg.

16 Kárteszi (1973:54-5.)

17 Stäckel (1914: 231), I. rész


Cikk eleje Jegyzetek Irodalom Bezárás