AZ ONTOLÓGIAI BIZONYÍTÁS ÉS KURT GÖDEL

 

CSABA FERENC

[Cikk vége | Jegyzetek | Bezárás]

 

Kurt Gödel érdeklődése 1943-tól kezdve fordult a filozófia felé. Eleinte a matematika filozófiai kérdései foglalkoztatták, a leghíresebb - publikált - tanulmányai e téren a Russell matematikai logikájával ill. a Cantor-féle kontinuum-hipotézissel foglalkozó írások. A 40-es és 50-es évek fordulóján jelentek meg híres, az általános relativitáselmélet - pontosabban a relativisztikus kozmológia - témájába vágó eredményei a "forgó univerzumról". Gödel az Einstein-egyenletek olyan megoldását adja meg, amelyek szerint az univerzum mint egész forog - ennek egyik legérdekesebb következménye, hogy nem zárja ki a múltba való "időutazást", ellentétben a korábbi megoldásokkal. A relativitáselméletben való elmélyedés melléktermékeiként születtek az Einstein-féle teória és a kanti transzcendentális filozófia időfogalmának párhuzamait tárgyaló - és csak jóval szerzőjük halála után megjelenő - tanulmányok.

A föntiekhez hasonlóan posztumusz látott napvilágot az azóta egyre szélesebb körben ismertté váló gödeli ontológiai bizonyítás. Ennek végső változata 1970-ből való (először Sobel 1984-es cikkének[1] függelékeként jelent meg teljes terjedelemben), a gondozott szöveg - az 1941-től datált "előtanulmányok" egy részével együtt - 1995-ben, a Collected Works III. kötetében[2] jelent meg. Az 1941-es dátum jelzi, hogy Gödel már az ontológiai érv kb. a 60-as évektől kezdődő "modális reneszánsza" előtt behatóan foglalkozott a kérdéssel; a publikációtól pedig az attól való aggodalom tartotta vissza, hogy a nagyközönség szemében így esetleg hívőként jelent volna meg, holott csupán az érvelés logikai struktúráját próbálta világossá tenni.

Maga az ontológiai bizonyítás rendkívül tömör, nem egészen egy oldal terjedelmű alkotás. (E tekintetben nem egyedülálló Gödel írásai között: az intuicionista kijelentéslogika modális interpretációjáról szóló nevezetes tanulmány sem hosszabb.) Ezért először a gödeli érvelést mutatjuk be, legjobb tudásunk szerint kiegészítve azt a hiányzó bizonyításokkal, majd - a föllépő alapfogalmakat, definíciókat és a fölhasznált logikai apparátust sorra véve - megpróbáljuk azokat egy kissé (történeti és tárgyi értelemben egyaránt) szélesebb keretben elhelyezni. Végül röviden vázoljuk a végső alkotásnak és az előtanulmányok "kezdeményeinek" kapcsolatát.

 

 

"Az ontológiai bizonyítás"

 

Tekintsük alapvetőnek a pozitív tulajdonság fogalmát. Gödel erről ennyit mond: "A »pozitív« kifejezést a szó morális-esztétikai értelmében (mintegy »a világ véletlenszerű felépítésétől független« szinonimájaként) használjuk." Azt, hogy egy φ tulajdonság pozitív, így jelöljük: P(φ). A pozitív tulajdonságokra vonatkozó axiómák és közvetlen következményeik mármost az alábbiak:

 

(1) Pozitív tulajdonságok együtt föllépve is azok:

(P(φ)&P(ψ))ÉP(φ&ψ)

Az axióma természetesen tetszőleges számú pozitív tulajdonság esetén is érvényes. (Látható, hogy a gödeli "Beweis" túllép az elsőrendű logika keretein, a fönti axióma valójában az alábbit rövidíti:

("φ)("ψ)((P(φ)&P(ψ))ÉP(φ&ψ))

A továbbiakban megmaradunk a Gödel által használt jelöléseknél.)

 

(2) Egy tulajdonság és annak komplementere közül pontosan az egyik pozitív, azaz (v itt a kizáró értelemben vett vagy):

P(φ) v P(~φ).

(Ezt az axiómát az alábbi kettőre cserélhetjük:

P(φ)É~P(~φ) és

~P(φ)ÉP(~φ).)

 

(3) A pozitív tulajdonságok szükségszerűen azok, miként a nem-pozitívak is. ("Ez a »pozitivitás« természetéből fakad" - mondja Gödel.)

P(φ)ÉNP(φ) ill.

~P(φ)ÉN~P(φ).

Megjegyezzük, hogy a második összefüggést kontraponálva ezt kapjuk:

MP(φ)ÉP(φ), azaz amennyiben lehetséges, hogy egy tulajdonság pozitív, akkor valóban az.

 

(4) A szükségszerű létezés (lásd alább) pozitív tulajdonság:

P(E)

 

(5) Amennyiben egy pozitív tulajdonság szükségszerűen maga után von egy másik tulajdonságot, akkor ez utóbbi is pozitív:

(P(φ)&N("x)(φ(x)Éψ(x)))ÉP(ψ)

Az axióma következménye, hogy az önazonosság is pozitív tulajdonság:

P(λx.x=x)

Ennek bizonyítása a következőképpen történhet: egyrészt a 2. axióma szerint vannak pozitív tulajdonságok (hiszen bármely tulajdonságot véve, vagy "ő maga" vagy a komplementere pozitív), másrészt az önazonosság szükségszerűen együtt lép föl bármely tárgy bármely tulajdonságával (5. axióma). Ezzel - megint a 2. axiómára hivatkozva - azt is megmutattuk, hogy az "önmagától való különbözés" nem pozitív tulajdonság:

~P(λx.x≠x)

Mindezek alapján a pozitív tulajdonságok egymással összeegyeztethetők (kompatíbilisek) kell hogy legyenek, ellenkező esetben ugyanis "összegük", azaz az összes pozitív tulajdonság konjunkciója (amely az 1. axióma szerint pozitív) a λx.x≠x "negatívummal" lenne ekvivalens.

A pozitív tulajdonságok "elméletének" birtokában nyilvánvaló az alábbi - kontextuális - definíció:

G(x)ºdef ("φ) (P(φ)Éφ(x)),

"isten-jellegű" tehát egy x objektum, ha bír minden pozitív tulajdonsággal. (És ekkor - a 2. axióma szerint - csak azokkal.)

Adósak vagyunk még a szükségszerű létezés definíciójával. Ehhez először is a φ az x lényegi tulajdonsága kifejezést határozzuk meg. Azt mondjuk, hogy φ x lényegi tulajdonsága (jelölése φEss.x), ha φ szükségszerűen vonja maga után x összes tulajdonságát, azaz

φEss.xºdef ("ψ)(ψ(x)ÉN("y)(φ(y)Éψ(y)).

Ezek után a szóban forgó definíció ekképpen szól: x szükségszerűen létezik - jelölése E(x) -, amennyiben x minden lényegi tulajdonsága szükségszerűen "exemplifikálódik", azaz ha φ az x lényegi tulajdonsága, akkor szükségszerű, hogy létezik φ tulajdonságú objektum.

Formalizálva:

E(x)ºdef ("φ)(φEss.xÉN($y)(φ(y)).

(Különbséget kell tennünk a szükségszerűen létezik - E(x) - ill. a szükségszerű, hogy létezik - N($v) - között!)

Mindezen előkészületek után lássuk magát a bizonyítást.

(i) Az "isten-szerűség" bármely objektumnak lényegi tulajdonsága:

G(x)ÉG Ess.x.

Ezt a következőképpen láthatjuk meg. Tegyük föl, hogy a "isten-szerű", azaz fönnáll: G(a). Ha most G nem lenne a lényegi tulajdonsága, akkor létezne olyan ψ tulajdonság, hogy egyrészt fönnállna ψ(a), másrészt elképzelhető (lehetséges!) lenne egy olyan b objektum létezése, amelyre egyszerre fönnállna, G(b) és ~ψ(b) is. Mármost ψ és ~ψ közül pontosan az egyik pozitív kell, hogy legyen (2. axióma). Ha ψ nem pozitív, akkor a-ra egyrészt fönnállna ~ψ(a) (hiszen ~ψ ebben az esetben pozitív tulajdonság), másrészt ψ(a) (föltevésünk szerint). Hasonlóan mutatható meg, hogy ψ pozitív sem lehet: ekkor ui. a ψ(b) és ~ψ(b) ellentmondással kellene szembenéznünk.

(ii) Ha létezik "isten-szerű" lény, akkor szükségszerű, hogy létezik:

($x)G(x)ÉN($y)G(y).

4. axiómánk szerint a szükségszerű létezés pozitív tulajdonság, így minden "isten-szerű" lényre jellemző:

G(x)ÉE(x).

Márpedig definíció szerint

E(a) = ("φ)(φEss.aÉN($y)(φ(y)),

így φ helyében G-vel ezt kapjuk:

G Ess.aÉN($y)G(y).

Azt viszont már megmutattuk, hogy az "isten-szerűség" lényegi tulajdonság, így (i)-ből és az utóbbi formulából:

G(a)ÉN($y)G(y),

amiből pedig éppen a bizonyítandót kapjuk:

($x)G(x)ÉN($y)G(y).

(iii) Bármely modális rendszerben érvényes Lemmon szabálya: ha a pÉq formula levezethető, akkor levezethető MpÉMq is. Legutóbbi bizonyított formulánkra ezt alkalmazva, a következőket kapjuk:

M($x)G(x)ÉMN($y)G(y).

Amennyiben lehetséges, hogy létezik "isten-szerű" lény, úgy az is lehetséges, hogy szükségszerű, hogy létezik.

(iv) Lewis S5 rendszerének karakterisztikus sémája (Becker-szabály) szerint:

MNpÉNp,

azaz, ami lehetséges, hogy szükségszerű, az ténylegesen is az. Így ebben a rendszerben érvényes egyrészt

MN($y)G(y)ÉN($y)G(y),

másrészt (iii) szerint fönnáll, hogy

M($x)G(x)ÉMN($y)G(y),

így e két utóbbi összefüggés alapján:

M($x)G(x)ÉN($y)G(y).

Amennyiben lehetséges, hogy létezik "isten-szerű" lény, úgy szükségszerű, hogy létezik.

(v) Annak bizonyítása maradt tehát csak hátra, hogy "isten-szerű" lény létezése lehetséges. Ez utóbbit Gödel - talán Leibniz nyomán - így értelmezi: a pozitív tulajdonságok összességükben egymással kompatibílisek. Ezt pedig már a 2. axióma utáni megjegyzésünkben megmutattuk. Ugyanezt támasztja alá az alábbi gondolatmenet is. Ha nem zárjuk ki, hogy a pozitív tulajdonságok exemplifikálódjanak a világban, akkor feltehetjük a következőt: amennyiben a φ tulajdonság pozitív, úgy lehetséges, hogy létezik φ tulajdonságú objektum, M($y)φ(y). Ellenkező esetben ugyanis N("y)~φ(y), azaz a φ tulajdonság szükségszerűen nem jellemezne egyetlen objektumot sem. Akkor viszont fönnállna N("y)(φ(y)Éy≠y) is, márpedig ebből az 5. axióma szerint λy.y≠y pozitivitása következne, ami viszont ugyanezen axióma alapján cáfolható.

 

 

A perfekciók kompatibilitása

 

Leibniz Quod Ens Perfectissimum existit című írása[3] 1676 végéről való, amelynek angol fordítását[4] valószínűleg Gödel is ismerte, s amely több szempontból is a gödeli "Beweis" egyik előképének tekinthető. Leibniz a "bizonyítást" a Descartes V. Meditációjában szereplő ontológiai elv kiegészítésének szánta. (Érdemes megjegyezni, hogy az írás egy Spinozánál tett látogatás idején született, így mondhatni a racionalizmus két jeles képviselőjének "közös műhelyéből" származik.) Nem föladatunk Leibniz érvelését a szerző logikai elképzeléseinek keretébe illeszteni, a gondolatmenet fölvázolásával csupán azt kívánjuk érzékeltetni, hogy melyek a gödeli és a leibnizi érv közös vonásai.

Leibniz gondolatmenetének célja annak bizonyítása, hogy a legtökéletesebb lénynek, az összes perfekciók alanyának létezése nem lehetetlen. Ez ui. a bizonyos hiányzó láncszem a descartes-i érvelésben. Amennyiben a legtökéletesebb lény létezésére tökéletessége - s az exisztenciának a perfekciók körébe sorolása - alapján következtetünk, nem árt, ha előbb meggyőződünk arról, hogy ez a létezés legalábbis lehetséges.

Ez a lehetőség Leibniznél a perfekciók (Isten föltételezett tulajdonságai) összességének kompatíbilitását jelenti - éppen úgy, ahogy ezt Gödelnél láttuk, a perfekciók szerepében a pozitív tulajdonságokkal. Másrészt, s ez bizonyításának érdekes vonása, a lehetőséget mintegy "visszájáról" közelíti meg: ténylegesen azt próbálja igazolni, hogy a perfekciók kompatibilitása nem szükségszerű - s így (csupán) lehetséges. A perfekciók mármost az egyszerű, pozitív, abszolút tulajdonságok, mint amilyen a mindenhatóság, a mindentudás vagy a mindenható jóság. Egyszerűségük miatt elemezhetetlenek, más tulajdonságokra nem vezethetők vissza. Tekintsük most néhány perfekció "összességét" (konjunkcióját). Ezen összesség kompatíbílis volta nem igaz magától értődőn, per se, ugyanakkor be sem bizonyítható, hiszen a bizonyítás csak az illető perfekciók elemzéséből indulhatna ki. Márpedig Leibniz szerint csak a per se igaz ill. a bizonyítható állítások szükségszerűek - így a perfekciók kompatibilitása legföljebb lehetségesnek mondható. De ha joggal, akkor a legtökéletesebb lény létezése nem zárható ki, ami kiindulási alapul szolgálhat egy karteziánus gondolatmenethez. Említést érdemel, hogy mind az egyszerű, mind az abszolút (a perfekciók jellemzői) egy-egy tulajdonságokon bevezetett rendezés extremális elemeinek tekinthető. Ilyen reláció a pozitív tulajdonságok elméletében is értelmezhető: a φ tulajdonság alapvetőbb a ψ tulajdonságnál, ha φ szükségszerűen maga után vonja ψ-t, azaz

φ≤ψºdef N("x)(φ(x)Éψ(x)).

(Ezzel az 5. axióma így fogalmazható:

(φ≤ψ&P(φ))ÉP(ψ),

a lényegi tulajdonság definíciója pedig így:

φEss.xºdef("ψ)(ψ(x)Éφ≤ψ)).

Ennek a rendezésnek a pozitív tulajdonságok osztályán extremális eleme (a rendezés iránya miatt minimuma) az "isten-szerű" tulajdonság, ez ugyanis nem más, mint az összes pozitív tulajdonságok együttes fönnállása. Természetesen ezt a "mindenható pozitivitást" nem tekinthetjük egyszerű tulajdonságnak, így - legalábbis a leibnizi értelemben - perfekciónak sem.

 

 

"Szükségszerű létezés"

 

Bár a filozófiai folklór manapság már úgy tartja, hogy az ontológiai érv kanti kritikája ugyancsak kritikára szorul[5], a híres "az exisztencia nem igazi predikátum" tézis ennek ellenére megszívlelendő. Az érv descartes-i változata szerint: Isten minden tökéletességgel bír, az exisztencia pedig a tökéletességek egyike, Isten tehát létezik. Az első premissza - Isten minden tökéletességgel bír - esetleg eleve föltételezi az Istent jellemző tulajdonságok exemplifikálódását, így már magában rejtheti a konklúziót is; a másik premissza pedig, amely szerint az exisztencia a tökéletességek s így a predikátumok egyike - legalábbis megkérdőjelezhető. Hasonlóan a létezés körüli bonyodalmak állnak az érv eredeti, Anzelmtől származó változatáról szóló viták középpontjában is. Mint ismeretes, a Szent gondolatmenete az esse in intellectu és az esse in re között próbál hidat verni, s az érvet elvetők épp a különböző létezés-szférák összemosásában látják azt a pontot, ahol a híres argumentum megtámadható.

N. Rescher "az exisztencia logikájára" vonatkozó vizsgálatait[6] azzal zárja, hogy fölsorolja azokat a követelményeket, amelyeknek a létezés egy valamirevaló elméletének meg kell felelnie. Ezek sorában az első: a létezés definíciójának kezelnie kell a lehetséges, de nem létező objektumokat, el kell tehát kerülni a - többek között az ontológiai érveléstől való függetlenség szempontjából jelentős - "minden létezik" konklúziót. Az alábbiakban három létezés-koncepciót veszünk sorra. Elemzésünk első szempontja Rescher fönti követelményének teljesülése; másod- (de nem utolsó-)sorban pedig a matematikai objektumok létezését vizsgáljuk meg.

Első példánk H. Leonard létezés-koncepciója.[7] Eszerint létező az, aminek legalább egy kontingens tulajdonsága van, azaz

E(x)ºdef ($φ)(φ(x)&M~φ(x)).

Ekkor Isten létezését (ebben az értelemben) tényleg nem állíthatnánk, hiszen Istennek nyilvánvalóan minden tulajdonsága szükségszerűen tulajdonsága. De a dolog nem ilyen egyszerű: Istennel együtt ugyanis a matematikai objektumoktól is megszabadulunk, lévén azok tulajdonságai ugyancsak szükségszerűek. És ez még nem minden. A fönti definíció alapján a létezés tagadása a következő formát öltené:

~E(x)º("φ)(φ(x)ÉNφ(x)),

ami tehát nem létezik, annak minden tulajdonsága szükségszerűen tulajdonsága.

Látjuk tehát, hogy ára van annak, ha ki akarunk szabadulni Szent Anzelm "csapdájából". Az alábbiakban Rescher - rafináltabb - létezés-definícióinak egyikét[8] mutatjuk be. Eszerint létező az, ami legalább egy nem-triviális tulajdonsággal rendelkezik, ez utóbbin olyan tulajdonságot értve, amelynek komplementere exemplifikálódhat, vagyis:

E(x)ºdef($φ)(φ(x)&M($y)~φ(y)).

Ekkor a "nem-létezés" az alábbi alakot ölti:

~E(x)º("φ)(φ(x)ÉN("y)φ(y)),

nem-létező dolgoknak tehát kizárólag olyan tulajdonságai lehetnek, amely tulajdonsággal szükségszerűen bármi rendelkezik. Így pl. az önazonosságot nem kell megtagadnunk a "nem-létezőktől" sem... Efölött akár napirendre is térhetünk. A "matematikumokat" illetően is megnyugodhatunk: túlnyomó többségük bír olyan jellemzőkkel, amelyekkel egyes társaik nem. Végül az ontológiai érv "rövidre zárt" értelmezésének végeredményét is elkerültük, a létezés fönti definíciója alapján a dolgok többségének fönnállása körmönfontabb bizonyításra szorul.

És mit veszítettünk a vámon? Elhagytuk az elsőrendű logika biztonságos talaját: tulajdonságok fölött kvantifikáltunk, modális operátort használtunk, az exisztenciális kvantor ráadásul ez utóbbi hatáskörében is föltűnik, tovább növelve a bonyodalmakat.

Mindez igaz persze a gödeli "szükségszerű létezésre" is. J. Perzanowski szerint[9] Gödel bizonyítása a tulajdonságok általános elméletéhez való hozzájárulásként is értelmezhető, éppen a lényegi tulajdonság és a szükségszerű létezés koncepciói okán. Vizsgáljuk meg most a gödeli "létezés-elméletet" a fönti szempontok - a létezés tagadása ill. a matematikai objektumok létezése - szerint. (Gödel "bizonyításának" bemutatása nyilván bárkit meggyőzhetett arról, hogy mindenesetre nem teljesen magától értődő a szükségszerű létezésnek az ontológiai érvelésbe való beillesztése.) Milyen is tehát a szükségszerű létezés - E(x) - tagadása?

~E(x) º($φ)(φEss.x&M("y)~φ(y)).

Ami tehát nem szükségszerűen létezik, annak van ugyan lényegi tulajdonsága (olyan tulajdonsága, amelyből az összes többi jellemzője szükségszerűen következik), ám elképzelhető, hogy ezzel a tulajdonsággal egyetlen objektum sem bír. Vagyis lehetséges, hogy egy tárgy lényegi tulajdonsága a tárgynak nem is tulajdonsága. Föltehetjük, ez a megfigyelés a magyarázata, hogy Gödel a lényegi tulajdonság definíciójából törölte azt a - korábbi változatokban még szereplő - kitételt, mely szerint x lényegi tulajdonsága x-nek ténylegesen tulajdonsága is. Ez viszont ahhoz vezet, hogy amennyiben van olyan predikátum, amely egyetlen objektumra sem áll szükségszerűen, az bárminek lényegi tulajdonsága lesz. Idézzük föl ugyanis a lényegi tulajdonság definícióját:

φEss.xºdef ("ψ)(ψ(x)ÉN("y)(φ(y)Éψ(y)).

Ha itt nem szerepel a jobb oldalon az &φ(x) kitétel, akkor valóban, a fönti tulajdonságú φ-vel az N utáni kondicionális logikai igazsággá válik, s mint ilyen szükségszerűvé is, így viszont az egész jobb oldal érvényes lesz. Ez viszont nyilván nem illik a "bizonyítás" gondolatmenetébe. (Perzanowski rekonstrukciójában ezért az &φ(x) taggal egészíti ki a gödeli definíciót.) Úgy tűnik tehát, hogy a nem-szükségszerű létezők logikailag kissé "renitens" objektumok: van lényegi jellemzőjük, ez azonban lehetséges, hogy egyetlen objektumot sem jellemez - ez viszont a matematikai létezők világában nem is olyan kétségbeejtő konklúzió.

Próbáljuk tehát a gödeli koncepciót a matematika objektumaira alkalmazni. Amennyiben egy "matematikumnak" van definíciója, úgy ez nyilvánvalóan lényegi tulajdonsága (lévén a további jellemzők "a definíció alapján igazak"). - Azért marad még kérdés: mi a helyzet pl. a halmazokkal? Itt az esetleges "lényegi tulajdonság"-jelölteknek még a megfogalmazása is tetemes nehézséggel járhat - az "isten-szerűséget" könnyebb volt definiálni... A szükségszerű létezés a matematika világában könnyebben kezelhetőnek mutatkozik. Ha eltekintünk a nem-konstruktív bizonyításokkal szembeni széles körben osztott ellenszenvtől, akkor azt mondhatjuk: a matematika objektumainak jelentős része olyan, hogy egyrészt jól meghatározott definícióval bírnak, másrészt "föl is mutathatók", több-kevesebb meggyőző erővel. Ezekkel szemben nem teljesítik a szükségszerű létezés föltételeit az olyan érdekes objektumok, amilyen pl. az xn + yn = zn egyenletnek n>2 esetén eleget tevő, nem nulla egész számokból álló (x;y;z) hármas - ezeknek van ugyanis lényegi tulajdonságuk (definíciójuk), ám lehetséges, hogy ez a tulajdonság "üres", semmire nem áll. És ez a konklúzió plauzíbilisnek tűnik: ha valamely objektum létezése (a legegyszerűbb értelemben) bizonytalan, nehezen tekinthetjük szükségszerűen létezőnek.

 

 

Az ontológiai érv modális változatai

 

Ch. Hartshorne és N. Malcolm hívta föl először a figyelmet Anzelm eredeti érvelésének kettős fölépítésére. Eszerint az ontológiai érv egyfelől Isten létezésére, másfelől - ettől többé-kevésbé függetlenül - Isten létezésének szükségszerűségére következtet, attól függően, hogy a létezést vagy a létezés szükségszerűségét soroljuk a perfekciók közé. A modalitások "Anzelm elve" okán jelennek meg: a legtökéletesebb lény nem létezhet kontingensen:

($x)G(x)ÉN($x)G(x).

Vagyis ha Isten létezik, akkor szükségszerűen teszi. (Ha pedig létezése nem lenne szükségszerű, akkor nem is létezne.)

Hartshorne ezek után lényegében a következő "modális változatot" javasolja.[10] Anzelm elvéből a Lemmon-szabállyal ezt kapjuk:

M($x)G(x)ÉMN($x)G(x).

Becker posztulátumát (az S5 rendszer már említett karakterisztikus sémáját) a ($x)G(x) formulára alkalmazva:

MN($x)G(x)ÉN($x)G(x).

Utolsó két kondicionálisunk szerint:

M($x)G(x)ÉN($x)G(x),

ha a legtökéletesebb lény létezése egyáltalán szóba kerülhet, akkor ez a létezés szükségszerű. Márpedig intuíciónk - esetleg egy leibnizi érvelés - alátámaszthatja azt is, hogy Isten létezése igenis lehetséges:

M($x)G(x).

Ezzel a bizonyítást befejeztük. Ha rendszerünk "ráadásul" alethikus is, akkor az N($x)G(x) formula mellett ($x)G(x)-et is igazoltuk.

Látható, hogy az első, modern modális logikát is használó érvelések egyike több ponton is emlékeztet Gödel - nagy valószínűséggel a föntitől független - gondolatmenetére. Ezek: a Lemmon-szabály ill. a Becker-posztulátum alkalmazása, továbbá - részben emiatt - az M($x)G(x) formulának a bizonyításban játszott centrális szerepe.

Mindez áll a talán legszélesebb körben ismertté vált, A. Plantingától származó "diadalmas modális változatra" is.[11] Plantinga, aki bizonyítását a 70-es évektől kezdve csiszolgatta, a modális logika Kripke-típusú, "lehetséges világok-szemantikáját" is csatasorba állítja. A modalitások logikáját ő is azért hívja segítségül, hogy a kanti kritikát semlegesítse: ha az exisztencia nem is "igazi predikátum", a szükségszerű létezés már annak kell, hogy számítson.

Plantinga "diadalmas argumentuma" mármost a következő. Különböztessük meg egymástól a maximális kiválósággal bír és a maximális nagysággal bír tulajdonságokat. Amennyiben egy objektum a lehetséges világok egyikében maximális kiválósággal bír, az a következőt jelenti: az illető objektum - az adott világban - rendelkezik a mindentudás, a mindenhatóság és az erkölcsi tökéletesség perfekciókkal. (Hangsúlyozzuk: a maximális kiválóság mindössze az objektum adott világbeli jellemzőitől függ.) A maximális nagyság ellenben nem egyetlen világra korlátozódó predikátum, ez a maximális kiválósággal bír az összes lehetséges világban tulajdonságot jelöli. Az érv központi premisszája mármost a következő: maximális nagysággal bíró lény létezése lehetséges. Plantinga értelmezésében ez a következőt jelenti: van egy világ - mondjuk W* - és egy abban értelmezett "lényegi tulajdonság" - mondjuk E* -, hogy E* W*-ban exemplifikálódik, továbbá implikálja a maximális nagysággal bír tulajdonságot. (Plantinga a "lényeg" fogalmát Gödeltől kissé eltérő értelemben használja: x lényegi tulajdonsága - egy adott világban - S, ha S - az illető világban - tulajdonságoknak egy teljes és konzisztens rendszere, továbbá, amennyiben egy másik lehetséges világban egy y objektumot S jellemez, úgy y szükségszerűen azonos x-szel.) Ebben az esetben E* a maximális kiválósággal bír minden lehetséges világban tulajdonságot implikálja, így valójában az lehetséges, hogy ez a tulajdonság exemplifikálódik, azaz - a Kripke-féle szemantika alapján - lehetséges, hogy a maximális kiválósággal bír tulajdonság szükségszerűen exemplifikálódik. Ekkor viszont "a széles körben elfogadott nézet" szerint (így aposztrofálja Plantinga az S5 rendszer - immár sokadszor fölbukkanó - karakterisztikus sémáját) ez nem csupán lehetséges, hanem igazi szükségszerűség, a "maximálisan kiváló" lény tehát minden lehetséges világban szükségszerűen jelen van.

Plantinga érvelésének gyönge pontja a centrális premissza - mely szerint a "legfőbb lény" létezése lehetséges - megalapozatlansága. J. Mackie joggal hívja föl rá a figyelmet[12], hogy ez a föltételezés nem áll biztosabb alapokon, mint a - Plantingánál is szereplő - maximalitás nélküli létezés, a maximális kiválóság exemplifikálódásának tagadása. Ez azonban már az ontológiai érvnek a "racionális teológiában" betöltött szerepét érinti, ami pedig kívül esik vizsgálódásunk körén. Plantinga "verdiktje" szerint mindenesetre:

 

"[Az érv] talán nem bizonyítja végérvényesen konklúziója igazságát. Azonban, mivel központi előfeltevésének elfogadása racionálisnak tűnik, azt azért megmutatja, hogy a következtetés végeredményének elismerése legalábbis éppoly racionális. S talán ez a legtöbb, amit egy ilyen argumentumtól elvárhatunk."[13]

 

(Megjegyezzük, hogy a gödeli gondolatmenetben a fönti centrális premisszának megfelelő lépés a 4. axióma, mely szerint a szükségszerű létezés pozitív - s így Istent is jellemző - tulajdonság.) Röviden: valószínűnek tűnik, hogy az ontológiai érv modális változataira éppúgy érvényesek az Angyali Doktor megállapításai, mint az eredeti, Szent Anzelmtől származó argumentumra:

 

"[M]ég ha el is fogadjuk, hogy e néven: »Isten« mindenki azt érti, aminél nagyobbat elgondolni nem lehet, akkor sem szükségszerű, hogy legyen valami a valóságban, aminél nagyobbat elgondolni nem lehet. [...] Nem ellentmondásos ugyanis, bárminél - akár az intellektusban, akár a valóságban - valami nagyobbat elgondolni, csak annak számára, aki elfogadja, hogy van valami a valóságban, aminél nagyobbat elgondolni nem lehet."[14]

 

 

Az előzmények

 

A Collected Works III. kötetének egyik függeléke tartalmaz néhányat Az ontológiai bizonyítás régebbi - a 40-es ill. az 50-es évekből származó - változataiból, s az azokhoz fűzött megjegyzésekből.[15] Most ezek közül idézünk föl néhányat, nagyjából a föntiekben tárgyalt témák szerinti csoportosításban.

A pozitív tulajdonságok elméletét illetően Gödel már a legkorábbi változatokban az axiomatikus fölépítés mellett döntött. Nem értelmezhető ui. a pozitív jóként, hiszen a legnagyobb jóság a legkisebb előnytelenséggel még jónak kellene, hogy számítson, pozitívnak, viszont már annál kevésbé. Az alábbiakban a pozitív lehetséges értelmezései közül kettőt veszünk sorra.

Értelmezhető a pozitív tökéletesként; tökéletességen az egyszerű, jó konjunkciót értve (itt Leibniz hatása érhető tetten). Ekkor az axiómák a következők:

(1) Egy tulajdonság pontosan akkor tökéletesség, ha nem implikálja egyetlen tökéletesség komplementerét sem.

(2) Tökéletesség szükségszerűsége is az.

(3) A létezés: tökéletesség.

Gödel vázol még egy értelmezési lehetőséget is: a pozitív jellemzőkön érthetjük a logikai igazságokat (tautológiákat) ill. az ellentmondások tagadásait. Az axiómák ekkor is a föntiekre emlékeztetnek. Az első lényegében azt mondja ki, hogy a pozitív tulajdonságok összessége egy "maximálisan kompatibilis rendszert" alkot. A második axióma ebben az értelmezésben plauzíbilisebbnek tűnik, a harmadik pedig egyenesen fölösleges.

Egy másik jegyzet a "pozitivitást" az alábbi axiómákkal alapozza meg:

(1) Ekvivalens tulajdonságok értéke is azonos; így tetszőleges p tulajdonság esetén p és ~p közül pontosan az egyik pozitív.

(2) Ha p és q negatívak, akkor negatívak p v q is.

(3) Ha p negatív, akkor negatív Np és Mp is.

(4) A létezés pozitív tulajdonság.

(Ezekből már következnek az ontológiai érv sarkalatos tételei: (i) pozitívumok logikai következményei is azok: (ii) a szükségszerű létezés pozitív tulajdonság.)

A szükségszerű létezés ill. az abban centrális szerepet játszó lényegi tulajdonság definíciói is formálódtak valamelyest az évek során. Már említettük, hogy a lényegi tulajdonság végső változata egy konjunkciós taggal rövidebb, amely "hiányosság" aztán egyfajta "logikai szőrszálhasogatásra" ad alkalmat. Az egyik régebbi definíció tehát így szólt:

φEss.xºdef("ψ)(ψ(x)ÉN("y)(φ(y)Éψ(y)))&φ(x).

Eszerint bármely objektum lényegi tulajdonsága az objektumnak tulajdonsága kell legyen.

Az S5 rendszer sokat emlegetett karakterisztikus sémáját Gödel már az "előtanulmányokban" is magától értődő természetességgel alkalmazza. Láttuk, hogy a posztulátumot az ontológiai érv más "bajnokai" sem voltak képesek elkerülni, a század legnagyobb logikusa nyilván ösztönösen érzett rá nélkülözhetetlenségére.

Bevezetőnkben már jeleztük: Gödel kizárólag az érv logikai struktúrájának fölfejtését tűzte ki célul, az argumentum "bizonyító erejének" vizsgálatát nem tartotta föladatának; a filozófiának inkább egyfajta "terapeutikus jelentőséget" tulajdonított. Befejezésül álljon itt erre vonatkozó, meglepően modernnek ható megjegyzése:

 

"A filozófiával való foglalkozás még akkor is hasznunkra válik, ha semmilyen pozitív eredményhez nem vezet (s tanácstalanok maradunk). Jelentősége abban áll, hogy »a színek világosodnak«, a valóság mint olyan áttekinthetőbbé válik."[16]

 



[1]   J. H. Sobel: "Gödel's ontological proof", in J. J. Thompson (ed.): On Being and Saying. Essays for Richard Cartwright, Cambridge 1984, 241–261. o.

[2]   Kurt Gödel: Collected Works III., Oxford 1995, 403–404. o. A gondolatmenet rekonstrukciója – a bizonyítások nélkül s az alábbitól valamelyest eltérő fölépítésben – megtalálható J. Perzanowski "Ontological arguments II. Cartesian and Leibnizian" c. cikkében, lásd H. Burkhardt–B. Smith (eds.): Handbook of Metaphysics and Ontology, Munich 1991, 625–633.o.

[3]   G. W. Leibniz: Philosophische Schriften VI/3., Berlin 1980, 578–579. o.

[4]   L. Loemker (ed.): Philosophical Papers and Letters, Chicago 1956, 167–168. o.

[5]   Lásd pl. Altrichter Ferenc: "Fogalom és lét: logikai út istenhez?" ill. "Fogalom és lét: logikai zsákutca istenhez", mindkettő a szerző Észérvek c. kötetében, Budapest 1993, 27–70. o., továbbá Klima Gyula: "Szent Anzelm és az ontológiai istenérv", Világosság 1983. decemberi melléklet.

[6]   "The logic of existence" IX. fejezet, Rescher Tropics in Philosophical Logic c. kötetében, D. Reidel 1968, 138–161. o.

[7]   H. S. Leonard: "The logic of existence", Philosophical Studies 7 (1956), 4., 49–64. o.

[8]   N. Rescher, i. hely, 144–145. o. Leonard és Rescher létezés-koncepcióiról lásd még Ujvári Márta: Kanti témák a mai angolszász analitikus filozófiában, Bp. 1993, 78–91. o.

[9]   I. J. Perzanowski, i. hely, 629. o.

[10]   Ch. Hartshorne: The Logic of Perfection and Other Essays in Neoclassical Metaphysics, Lassalle/Ill. 1962,  39–40, 51–53. o.

[11]   Lásd A. Plantinga: The Nature of Necessity, Oxford 1974, 213–217. o.

[12]   J. Mackie: The Miracle of Theism, Oxford 1982, 55–63. o.

[13]   A. Plantinga, i. m., 221. o.

[14]   Summa contra Gentiles, I. X., saját fordításában idézi Klima Gyula, id. cikk 9. o.

[15]   "Texts relating to the ontological proof", 429–437. o.

[16]   Uo. 432. o.

 

[ Cikk eleje | Jegyzetek ]