Nyomtatóbarát változat: Országos Közoktatási Intézet > Új Pedagógiai Szemle 2004 április-május > A kreatív gondolkodás megjelenése a matematikai teljesítményben

Vincze Szilvia – Márton Sándor

A kreatív gondolkodás megjelenése a matematikai teljesítményben

Hogyan lehet feltérképezni a matematikai tehetség szerkezetét, feltárni a tehetség képességbeli összetevőit? Tanulmányában erre a kérdésre keres választ a szerzőpáros. Részletes áttekintést nyújtanak a tehetség, azon belül a matematikai tehetség sajátosságaival foglalkozó szakirodalomból, és értelmezik a kreativitást általában, valamint a matematikai tehetség szempontjából. Véleményük szerint a matematika tantárgy a kreativitás fejlesztésének egyik legalkalmasabb terepe. A tanulmányban közreadják egy olyan vizsgálat eredményeit, amely konkrét feladatsorokon azt kutatta, hogy mennyire függ a kreatív matematikai teljesítmény az általános személyiségjellemzőktől, illetve a tanulók nemétől. Az eredmények arra utalnak, hogy a matematikai teljesítmény erőteljesen függ a személyiség általános kreativitásától. A vizsgálat egyik fontos megállapítása, hogy a fiúk és a lányok matematikában megnyilvánuló kreativitása között nincsenek értékelhető különbségek.

A matematika

Több mint kétezer éve, hogy minden művelt ember szellemi fegyvertárához tartozik némi jártasság a matematikában. A matematika a maga elvontságával az összefüggések és szabályok kimeríthetetlen tárháza, amely kevés ismeret birtokában is kiváló terepe lehet a szellemi tevékenységnek (Gyarmathy 2001). Téves következtetésekhez jutnánk azonban, ha azt gondolnánk, hogy az ember kész matematikai képességgel születik. Bár az öröklés meghatározza a megismerő folyamatok bizonyos sajátosságait, az adott lehetőségekből csak a tárgyakkal, eszközökkel, a technikával, a kultúrával való aktív kapcsolat során alakul ki az analizáló és szintetizáló, az elvonatkoztató és általánosító stb. képesség, melynek révén képesek vagyunk a változó viszonylatában az állandó megragadására. Ha ezek a feltételek adottak, akkor a matematikával való aktív kapcsolat alapján indulhat meg a matematikai képesség struktúrájának kialakulása (Rosca–Zörgő 1973). Ha ismerjük a struktúra összetételét és fejlődésének dinamikáját, akkor lehetőségünk nyílik arra, hogy a matematikai képesség alakulását megfelelően befolyásolhassuk és hozzájárulhassunk tökéletesebb strukturálódásához. Hogyan lehetne feltérképezni a matematikai képességek struktúráját, összetételét? Az utóbbi kérdésre a válasz talán kézenfekvőnek tűnik: matematikai feladatokon és problémákon keresztül. A matematika bármely ágához tartozó feladat elemzése hozzájárul a feladatok megoldásához szükséges matematikai gondolkodás természetének megismeréséhez, és aki a matematika titkát a problémák táján keresi, nem valószínű, hogy olyan nagyot tévedne (Halmos 1981).

A matematikai képességek kutatásában végzett vizsgálatok rövid áttekintése

A matematikai képességek problémája a pszichológusokat már az évszázad eleje óta foglalkoztatja. A kérdéssel a pszichológia történetében élenjáró személyiségek is foglalkoztak, L. Thorndike vagy O. Lipmann. A következőkben röviden kiemeljük a kutatásban e területen elért jelentősebb eredményeket.

A. Ruth 1913-ban végzett vizsgálatában a matematikai képességnek a következő jellemzőit határozta meg: fejlett absztrahálóképesség, téri viszonyok elképzelése, funkcionális jellegű gondolkodás, lánckonklúziók megfogalmazása, téri és aritmetikai korrelációk iránti érzék, nagyfokú koncentrálóképesség. Ruthnak azonban nem sikerült a problémát teljesen tisztáznia, mivel azok a tényezők, amelyekkel a matematikai képességet jellemezte, maguk is további elemzésre szorultak (Rosca–Zörgő 1973).

A legalaposabb és legsokoldalúbb elemzést Kruteckij (1968) végezte. Feltárta azokat a sajátosságokat, amelyekkel a matematikában jó teljesítményt nyújtó tanulók gondolkodása jellemezhető: (1) az általánosítás képessége (az adatokra és relációkra vonatkozóan); (2) a matematikai következtetések és a velük kapcsolatos cselekvésmozzanatok összevonásának, rövidítésének képessége; (3) a gondolkodási folyamatok flexibilitása; (4) az érthető kifejezésre, egyszerűsítésre és gazdaságosságra való törekvés; (5) a matematikai következtetések megfordításának képessége (inverzió) és (6) az önkontroll. Kruteckij szerint a jó matematikusokra jellemző, hogy nemcsak a matematikai problémákat, hanem más problémákat is matematikus módjára látnak és kezelnek. Monográfiájában a matematikai képesség néhány egyéni, típusos vagy életkorra jellemző sajátosságairól fogalmaz meg megállapításokat.

A matematikai képességgel kapcsolatban R. Skemp egy igen érdekes dologra hívta fel a figyelmet, mely szerint a matematikai képesség strukturálásában az ún. reflektív intelligencia is jelentős szerepet játszik. Az értelmesség ezen formája egy olyan rendszerrel azonosítható, mely lehetővé teszi, hogy saját fogalmainkat és mentális műveleteinket is észleljük, és hogy hatást gyakoroljunk rájuk. Ez a rendszer ad lehetőséget arra, hogy felfogjuk a fogalmaink és a műveleteink közötti relációkat, valamint ezeket a relációkat és velük együtt az emlékezetből vagy a külvilágból kapott információkat számon tartva cselekedjünk (Skemp 1971).

A fentiekben ismertetett kutatások mellett a matematikai képességet faktoranalitikus módszer segítségével is vizsgálták. A pszichometria egyik legnagyobb hatású képviselője, J. B. Carroll a kognitív képességek hierarchikus struktúráját pszichológiai tesztek faktoranalízise során adta meg. Ebben a struktúrában az elemi szintű kognitív képességek a következő faktorokba rendeződnek (Carroll 1993): (1) fluid intelligencia; (2) kikristályosodott intelligencia; (3) általános memória és tudás; (4) átfogó vizuális érzékelés; (5) átfogó auditív érzékelés; (6) átfogó információfelidézési képesség; (7) átfogó kognitív gyorsaság; (8) feldolgozási sebesség. Ezek mögött áll az általános intelligencia, a g-faktor. A kognitív képességek ilyen rendszerébe illeszthető be a matematikai képességek struktúrája. Carroll szerint számos elemi szintű képesség összefüggésbe hozható a magas szintű matematikai teljesítménnyel, ezért matematikai képességnek tekinthető. Szerinte elsődlegesen fontos a fluid intelligencia, amely induktív és deduktív következtetéses gondolkodást, valamint mennyiségi gondolkodást foglal magában. Másik lényeges faktor a kikristályosodott intelligencia, amely főként a nyelvi képességekkel függ össze: a szöveg megértése, a nyelvi fejlődés, az olvasási sebesség stb. tartozik ide. Harmadik kulcsösszetevőnek tekinti az általános memóriát, amely a memória terjedelmét (rövid időre mennyi dolgot tud megjegyezni) vagy az „értelmes memória” faktorát (hosszabb időre kell megtanulni értelmes dolgokat) öleli át. Az utolsó, a negyedik összetevő, amely döntő lehet a matematikai gondolkodásban, az általános vizuális észlelés, amit például olyan feladatok határoznak meg, amelyekben meg kell találni egy test és kiterített hálója között az összetartozó oldalakat.

A matematikai tehetség

Először tekintsünk vissza az általános tehetségmodellekhez. Nem célunk a teljes szakirodalmi háttér bemutatása, így a teljesség igénye nélkül azokat a modelleket ismertetjük, amelyek számunkra alapul szolgáltak egy lehetséges matematikai tehetségmodell megalkotásához.

A magyar Révész Géza 1918-ban „A tehetség korai felismerése” című könyvében a tehetség egyik fő kritériumának – összhangban kora szellemiségével – az intelligenciát tartotta, ugyanakkor azonban felismerte meghatározásának problematikus voltát is. A tehetség megnyilatkozásában az intelligenciánál jellemzőbbnek tartotta az intuíciót és a spontaneitást; az emberi tevékenységekkel és az alkotással kapcsolatos magatartást. Modelljében egy olyan koncepciót vázolt fel, amelyben a tehetség négy adottságon alapult: (1) intelligencia – vagyis az átlagon felüli értelmi képesség; (2) a tehetség iránya – specifikus mentális képességek; (3) az intuíció és a spontaneitás – kreativitás; (4) a gyermek szellemi-erkölcsi magatartása és alkotóereje – a feladat iránti elkötelezettség vagy motiváció. Révészhez hasonlóan Nagy László (1930) a képességek mellett alapvető fontosságúnak tartotta a jellemet és az akaraterőt, amelyek nélkül a tehetség vagy ki sem fejlődik, vagy elzüllik. A nemzetközi szakirodalomból Renzulli (1977) ún. háromgyűrűs modelljében lényegében ugyanazok a tulajdonságok jelennek meg a tehetséget meghatározó faktorokként, mint Révész modelljében. Renzulli szerint a tehetség nem pusztán kiemelkedő intellektuális képességet, kiemelkedő kreativitást feltételez, hanem e két tényezőnek és egy nagyon fontos harmadiknak, a feladat iránti elkötelezettségnek az interakcióját. Renzulli a képességekkel egyenrangúnak tekinti a kreativitást és a feladat iránti elkötelezettséget. Ez utóbbi faktor tisztán személyiségjegyekből áll, és mint energetikai faktor segíti a tehetség kifejlődését (Gyarmathy 2001). Renzulli (1986) a későbbiekben az átlag feletti képességek differenciáltabb leírását adta meg azzal, hogy megkülönböztetett általános és speciális képességeket. Az általános képességek közé sorolta a magas szintű elvont gondolkodást, a jó memóriát, a folyékony beszédet, a gyors és pontos szelektív információfeldolgozást stb., míg a specifikus képességeket lényegében az általános képességek különböző kombinációinak egy vagy több speciális területen (matematika, közgazdaságtan, zene stb.) való alkalmazásaként írta le. Mönks (1992) később módosította Renzulli modelljét, szerinte a tehetség kibontakoztatásának alapfeltételeihez tartozik a környezet is, ugyanis a belső tulajdonságok a környezeti háttéren keresztül érvényesülhetnek. Gagné (1991) elkülöníti a természetes képességeket és a módszeresen kifejlesztett készségeket, amelyek szakemberré tesznek valakit egy adott területen. Ennek alapján elkülöníti az átlag feletti képességekkel rendelkező potenciális tehetségeket és az emberi tevékenység valamely területén átlag feletti teljesítményt produkáló tehetségeket.

A tehetség általános modelljeiből kiindulva elkészítettük a matematikai tehetség egy elképzelt modelljét (1. ábra), amely mintegy integrációja a fentebb felsorolt modelleknek. Ez a többdimenziós elmélet a matematikai tehetséget a kognitív képességek (általános értelmi képességek és specifikus mentális képességek), a kreativitás és a személyiségjellemzők (általános faktor és motivációs faktor) interakciójaként ábrázolja. A tehetség manifesztációjában azonban külső feltételek is megnyilvánulhatnak, nem feledkezhetünk meg az olyan háttérváltozókról sem, mint a nem, a korosztály, a szociokulturális háttér stb.

A matematikai tehetségnek igen sok összetevőjét tárták fel a kutatások. Bár a matematikai tehetség általános meghatározásában nincs konszenzus, vannak olyan tulajdonságok, amelyek a kiemelkedő képességek jelzéséül szolgálhatnak (Gyarmathy 2002): (1) a matematikával kapcsolatban fáradhatatlan, keresi a problémákat; (2) a problémát gyorsan formalizálja és általánosítja; (3) hasonló problémák esetén a közbülső logikai lépések kihagyásával reagál; (4) kitartás és feladatelkötelezettség; (5) csodálatba ejtik a tények, a formulák; (6) kiváló emlékezete van a számokkal, formulákkal, viszonyokkal, megoldási módszerekkel stb. kapcsolatban; (7) flexibilis a gondolkodásmódja, könnyen fordít a gondolkodásán; (8) jó vizuális képzelet jellemzi; (9) a részletekben nem merül el, az összetettet egyszerűbbé teszi; (10) egyszerű, egyenes és elegáns megoldásokat keres; (11) verbális problémákat is tud egyenletben megfogalmazni és kezelni.

1. ábra • A matematikai tehetség elképzelt modellje

A kreativitás

A kreativitás kifejezést a laikusok és a pszichológusok többféle értelemben használják. Szűkebb értelemben alkotóképességet, alkotó gondolkodást, tehát kifejezetten intellektuális kognitív folyamatot jelent; tágabb értelemben a kreativitás magában foglalja mindazokat a személyi sajátosságokat, amelyek képessé teszik az embert arra, hogy rugalmasan gondolkodjon, értékes produktumokat hozzon létre (Barkóczi–Zétényi 1981), alkalmazkodjon mindazokhoz a kihívásokhoz, amelyekkel napról napra szembesül, és amelyek segítségével megoldja az adódó feladatokat, problémákat. E levezetés szerint valamiféle dinamikus dologra utal; olyan folyamatot jelent, amely saját magát fejleszti és bontakoztatja ki, és amely már eredetét és céljait is önmagába rejti (Landau 1974). A hatalmas irodalmi anyag ellenére sem könnyű pontos és igényes definíciót adni arra, hogy mi is a kreativitás. A tág értelmezések és az eltérő felfogások következményeképpen mindegyik szemlélet csak egy-egy részt képvisel az egészből. A fentiek is alátámaszthatják azt, hogy a kreativitásnak mind a mai napig miért nincs általánosan elfogadott definíciója: egyetlen olyan elmélet sincsen, amely teljes képet adna róla (Tóth 2000). Absztrakt fogalomként definiálása többnyire bizonytalan, leírása filozofikus, az operacionalizálására tett kísérletek diffúz megoldásokhoz vezettek (Csapó 1992). Az elvégzett hatalmas kutatási munkák ellenére sem sikerült a különböző elméleteknek és irányzatoknak a kreativitás mibenlétében, felismerésében és megértésében konszenzusra jutniuk (Tannenbaum 1983).

A kreativitás kutatásában három fő irányvonal különböztethető meg: (1) kreatív folyamat (a létrehozás); (2) kreatív produktum (a létrehozott gondolat vagy végeredmény); (3) kreatív személyiség (a létrehozó személye) (Landau 1974; Rohr 1975; Baron 1998; Gilhooly 1998; Perkins 1990).

A kreatív folyamat

A kreatív folyamat természetének és lényegének megragadása többféle módon lehetséges. Értelmezésében két fő irányzat különül el (Gyarmathy 2001). Az egyik lényegében véletlen eseménynek képzeli el az újszerű produktum létrehozását, amelynek valószínűségét befolyásolja a tudásanyag nagysága (a rendelkezésre álló elemszám megszabja a lehetséges kombinációk mennyiségét és komplexitását), valamint az ötletáramlás sebessége. Az új kombinációk kialakítását szigorú értékelésnek kell követnie, amelynek során szembesülnek az ötletek a követelményekkel. A másik irányzat szerint – amelynek egyik képviselője Guilford (1967) – az alkotás olyan célirányos folyamat, amelyet kezdettől fogva korlátok közé szorít a kitűzött cél. Ezen értelmezés a kreativitást a problémamegoldással azonosítja. Ezekben a helyzetekben az egyén meglévő információkkal dolgozik, a már meglévő korábbi tapasztalatait új struktúrákba egyesíti, amelyek konfigurációja teszi majd lehetővé a probléma megoldását. A kreatív folyamatot a kutatók szakaszokra bontották, például Wallas (1926) négy szakaszt különböztetett meg, és úgy tűnik, ez a négy szakasz sikeresen ragadta meg a kreatív folyamat történéseit. A kreatív folyamat lépései: az előkészítés, a lappangás, a megvilágosodás és az igazolás. Az egyén mindegyik szakaszban egy meghatározott pszichikus állapotba kerül, melyet először feszültségként, aztán frusztrációként, a harmadik szakaszban örömként, majd a végső szakaszban koncentrációként él meg. Torrance (1962) adja a folyamat iránt érdeklődő kutatók közül talán a legjobbnak mondható meghatározást, mely szerint a kreativitás az elképzelések vagy hipotézisek formába öntésének, kipróbálásának és az eredmények közlésének folyamata.

A kreatív produktum

Kutatók szerint kreatív produktumnak tekinthető minden olyan ötlet, elképzelés, művészeti alkotás vagy tudományos elmélet – legyen az még esetleg a tervezés stádiumában –, amely eredeti és újszerű, és amely a cél szempontjából jelentős (Tóth 2000). Egyes kutatók (pl. Amabile [1983]) a kreativitás meghatározásában egyetlen használható és megfelelő módszernek a kreatív produktum felőli megközelítést tartják.

Az ideális kreatív produktum gondolatát Brogden és Sprecher (1959) adta, szerintük a kreatív produktum új, éspedig a kultúra vagy az egyén tapasztalati világa szempontjából. Természetesen az újszerűség önmagában még nem elegendő, ha az elképzelésnek a valósághoz nem sok köze van (MacKinnon 1962). Simonton (1978) szerint a produktum a kreativitás meghatározásának alapja lehet, mivel a kreatív folyamatnak valamilyen eredményben biztosan meg kell mutatkoznia. Egy produktum akkor kreatív, ha egyszerre eredeti és alkalmazható. A gyakorlatban ezeknek a dimenzióknak a mérése azonban igen bonyolultnak tűnik.

A kreatív produktumok differenciálódását kísérelte meg Guilford (1959), amikor kétféle produktumról beszélt: az egyik a kézzelfogható, a kultúra által elismert produktum; a másik a „pszichológiai produktum”, amelyet nemcsak a zsenik hozhatnak létre: szóban kifejezett vagy elgondolt elképzelés, amely így nem feltétlenül kézzelfogható. Landau (1974) a produktum kreativitását a kreatív teljesítménnyel tartja meghatározónak; egy teljesítményt abból a szempontból értékel, hogy az elméletek újrastrukturálása mennyire sikerült és az eredmény, az új produktum használható-e. Megkülönbözteti az egyéni és a társadalmi kreativitást. Az előbbi az egyén tapasztalati világából merít, és az eredmény is csak ezen a szinten értékelendő; míg az utóbbi – azaz a társadalmi kreativitás – esetén annak hatóköre tágabb, egy egész kultúrakörre is vonatkozhat. Ha a gyermek olyan dologra jön rá, amelyet előzőleg még sohasem csinált, az individuális szempontból nagyon kreatív, globálisan azonban ugyanez már nem biztos, hogy elmondható.

A kreatív személyiség

A kreatív személyiségek problematikájának megközelítése két szempontból lehetséges. Az egyik szerint olyan kreatív személyiségeket lehet vizsgálat alá vonni, akik alkotóerejüket már bizonyították. A másik megközelítés alapján a kutatók meghatározhatnak bizonyos relevánsnak tűnő sajátosságokat, és az ezeknek megfelelő egyéneket mint lehetséges kreatív csoportot azonosíthatják, aztán további vizsgálatok igazolhatják vagy megcáfolhatják a kutatók által feltételezett személyiségjegyeknek a kreativitással való kapcsolatát (Gyarmathy 2001). Természetesen mindkét megközelítés számos bizonytalanságot hordoz magában, ám mindenképpen megvan az az előnyük, hogy a megközelítések által egyre több adat gyűlt össze a kreatív személyiség tulajdonságainak megismeréséhez.

Guilford beszélt először a kreatív ember személyiségjegyeiről, melyeket modell segítségével ábrázolt. Guilford szerint a kreativitás az emberi értelemben rejlik. Az értelem az emlékezést és a gondolkodást tartalmazza. A gondolkodás részfolyamatai a megismerés (az információk összegyűjtése), az értékelés (a lényeges és lényegtelen dolgok elkülönítése), valamint a produktivitás (a tényleges gondolkodási folyamat), amely lehet konvergens vagy divergens. Konvergens gondolkodás esetén az eredményességet elsősorban a reprodukció (felismerés, felidézés) határozza meg, míg a divergens gondolkodás során egyszerre több lehetséges megoldás kidolgozása történik – természetesen ebben a fő komponens a próbálkozás, amely magában foglalja a tévedés lehetőségét is. A kreatív személyt elsősorban a divergens gondolkodás jellemzi, ez szinte valamennyi kreativitásértelmezésben és -elrendezésben helyet kap. A divergens gondolkodási képesség faktorai: fluencia, flexibilitás, originalitás, szenzibilitás, elaboráció és redefiníció – ezek a kreatív személyiséget meghatározó jegyek és adottságok. (1) Fluencián a gondolkodás könnyedségét, gyorsaságát, folyékonyságát értjük. Meglétét az ötletgazdagság, a többféle problémamegoldás keresése mellett a megoldások variálása, rendezése is jelezheti. (2) A flexibilitás a gondolkodás rugalmasságában, a változó helyzetekhez való alkalmazkodásban, ugyanazon probléma több szempontú megközelítésében, az egyik témáról a másikra való gyors átváltásban nyilvánul meg. Ez a faktor megkönnyíti az ismeretek más összefüggéseiben való feltárását, a gondolkodás kitaposott, megszokott útjának elhagyását. A rugalmasság méréséhez az adott válaszoknak osztályokba, kategóriákba sorolására van szükség. (3) Az eredetiség (originalitás) olyan készség, amelynek segítéségével másképp látunk dolgokat. Ezt a faktort elsősorban a ritka válaszokkal, a távoli asszociációkkal, a különleges ötletekkel mérjük. Fejlesztésében nehézséget jelent, hogy az eredeti ötletek első pillantásra gyakran képtelennek tűnnek, ezért elvetjük őket. (4) A szenzibilitás a probléma észrevételét, megfogalmazását, a környezet hatásai iránti nyitottságot és fogékonyságot, valamint a probléma által kiváltott belső motiváció cselekvésre késztető feszültségét jelenti. Fejlesztése a gyermek autonómiájának támogatásával történik. (5) Az elaboráció a kidolgozottság igényét jelenti, vagyis azt a képességet, hogy az egyén mennyire tudja a felmerülő ötleteket kibontakoztatni. Az elaboráció az implikációk és konzekvenciák kifejtésével a probléma komplex megoldására való törekvést jelenti. Az akarati tulajdonságokon keresztül (akaraterő, kitartás stb.) lehet leginkább fejleszteni. (6) A redefiniálás az átfogalmazás képessége, amelynek birtokában az ember a jelenségeket másként elemzi, mint korábban. E faktor lényeges eleme az adatok szelekciója, szükséges eleme az intuíció. Az ismeretanyag különböző értelmezési módjának gyakoroltatásával fejleszthető.

Landau (1974) szerint a kreatív egyénekre jellemző tulajdonságok kisebb-nagyobb mértékben mindnyájunkra jellemzőek, csak nem mindenkinek van meg ahhoz a bátorsága, hogy aktivizálja, a valóságban kipróbálja ezeket. A kreatív személyek önérvényesítőbbek, agresszívebbek, erélyesebbek, bohémabbak, szélsőségesebbek, kevésbé gátlásosak és kevésbé hagyománytisztelők, mint más egyének. A kreatívak motiváltabbak, nagyobb az önfegyelmük, kitartóbbak, konstruktívan kritikusak, kevésbé elégedettek, sokoldalúak, jól informáltak, széles érdeklődési körrel rendelkeznek, nyitottabbak az érzések és az érzelmek irányában (Gyarmathy 2001). A kreatív egyének további közös jellemzője a környezet ingereire való szokatlan érzékenység, kifejezetten szeretik a humort, magas toleranciát tanúsítanak a kétértelműséggel szemben, nem kedvelik a kötöttségeket, védekeznek a korlátozások ellen (Tóth 2000).

Gondolatok, hipotézisek

A matematikai képesség igen összetett és széles körű rendszer, amelynek egy elképzelt modelljét az 1. ábra mutatta be. A matematikai képesség hátterében húzódó és a matematikai gondolkodás szempontjából releváns valamennyi képesség vizsgálata lehetetlen vállalkozás lenne. Jelen tanulmányban a számos összetevő közül a kreativitás került a középpontba.

Az Amerikai Matematikatanárok Országos Tanácsa a matematikai képességet a következőképpen határozta meg: „A matematikatanulás több, mint fogalmak, folyamatok és ezek alkalmazásának megtanulása. Egy matematikai képesség kifejlesztését is jelenti, és azt, hogy a matematikát hatékony helyzetfelismerési módszernek tekintsük. A képesség nemcsak szellemi beállítottságot jelent, hanem a pozitív módon való gondolkodásra és cselekvésre való hajlamot is. A tanulók matematikai képessége megnyilvánul abban, ahogy a feladatokat megközelítik – hogy magabiztosak-e, hajlandók-e alternatívákat kipróbálni, kitartóak és érdeklődőek-e –, és abban, hogy tükröztetik-e mindezt gondolkodásunkban.” (Mayer–Hegarty 1998). Az iskolai matematika-tananyag elsajátításában fontos szerepet töltenek be a begyakorlott gondolati műveletek, az algoritmizált megoldások, és az ismeretek alkalmazása is rengeteg reprodukciós lehetőséget kínál – a tanuló egy-egy problémával szembekerülve gyakran akaratlanul is analóg módon megoldható feladatok után kutat az emlékezetében –, de a matematika nem ragad meg ezen a szinten. Sokkal gazdagabb annál, minthogy reprodukálható gondolkodási sémákba foglaljuk. A matematikai kompetencia ennek megfelelően szoros kapcsolatba hozható a pszichikum egyik legértékesebb komponensével, a kreativitással, és sokak szerint ez a kapcsolat erős, szignifikáns.

A matematikai képesség és a kreativitásmutatók között erős kapcsolat feltételezhető, azaz a matematikából jó képességű diákoknál a kreativitást és a divergens gondolkodást igénylő tesztek eredményei sokkal jobbak, mint a begyakorlott és algoritmizált megoldásokra épülő rutinszerű feladatokat tartalmazó tesztek eredményei.

A kreativitáshoz, bármilyen területen mozogjunk is, viszonylag nagy tudáshalmaz kell, amelyben jó kapcsolatrendszerek épültek ki, és amely alapot szolgáltat érdekes, új, esetleg meglepő asszociációkra (Kontra 2000). Szükség van valószínűleg arra is, hogy képzeletünket tudjuk „elengedni” és „vadul” szárnyalni. A matematika olyan tantárgy a közoktatásban, amely leginkább biztosíthatja a kreatív gondolatok megjelenésének a lehetőséget. A matematika annak ellenére, hogy rutinelemeket és iteratív elemeket ötvöz, lényegében újítótevékenység. A matematika lényege ugyanis nem a helyes válasz produkálása, hanem a kreatív gondolkodás. A kreativitás magában foglalja mindazokat a képességeket, amelyek befolyásolják a matematikai tevékenység teljesítményét: az ismeretlenhez kötődő érzékenységet, gyorsaságot, a kognitív folyamatok eredetiségét és rugalmasságát, a térbeli észlelés és reprezentáció magas szintű képességét, a munkához való attitűdöt, az episztemikus kíváncsiságot.

A gondolkodás hajlékonyságát, rugalmasságát alapvetően befolyásolja a tárgyi tudás bővülése, átszerveződése.

A konkrét tárgyi matematikai tudás az életkor előrehaladtával folyamatosan bővül és egyre strukturáltabbá válik. A gondolkodási tevékenység flexibilitása, illetve merevsége szoros kapcsolatot mutathat a tapasztalati és gondolati mező differenciálódásával és bővülésével. Ezek segítségével a tanulók képessé válhatnak a gazdagon variált matematikai összefüggések felismerésére, alkalmazására és gyakorlati hasznosítására.

A kreatív gondolkodás nemtől független; a kreatív matematikai teljesítmény és a nemek között nem feltételezünk szignifikáns kapcsolatot.

Néhány tudományterületen, így a matematikában is nagyok a nemek közötti különbségek. A matematikai–számítógép-tudományi területeken a lányok részvétele – OECD-átlagban – a fiúkénak mindössze 31 százaléka; Magyarországon, néhány más országgal egyetemben ez a hányad mindössze 19%-ot tesz ki (Mihály 2002). Korábbi felmérések azonban azt is jelzik, hogy a matematikai és a természettudományi területeken elért teljesítmények tekintetében alacsonyabb szinteken még nincsenek akkora különbségek, mint amilyeneket később regisztrálnak. Az OECD-vizsgálatok kimutatták, hogy két ország kivételével mindenütt a fiúk szerepeltek jobban. A fiúk általánosságban szignifikánsan jobb matematikai képességgel rendelkeznek, mint a lányok, de ez nem minden képességkompetencia-szinten mutatkozik meg. Feltételezhető, hogy a lányok általában jobb teljesítményt nyújtanak azokban a matematikafeladatokban, amelyekhez a nyelvi képességekhez köthető képesség-összetevők kapcsolódnak, de idesorolhatóak azok a problémák is, amelyek a bemagolt ismeretek megőrzésére vonatkoznak; míg például a geometria területén a fiúk eredményei szignifikánsan jobbak. Ugyanakkor számos olyan területe van a matematikának, ahol a nemek közötti eltérés nem szignifikáns. Ilyen területet képviselnek azok a matematikai problémák is, amelyek a kreativitást célozzák meg. Újítónak, alkotóan kreatív gondolkodónak lenni többek között azt is jelenti, hogy az egyén egy problémával találkozva arra számos megoldást talál. A fluencia – vagyis hogy hány megoldást találunk egy problémára – nemtől független képesség-összetevő. De ilyen összetevőnek gondolhatjuk a rugalmas gondolkodást és az eredetiséget is.

A vizsgálat

A vizsgálat eszközeinek és körülményeinek bemutatása

A vizsgálatnak – a fentiekkel összhangban – két célja volt. Egyrészt azt próbáltuk feltérképezni, hogy a pedagógusok a matematikából tehetséges gyerekekről milyen képet alakítottak ki; vagyis mely összetevőket és tulajdonságokat tartanak fontosnak, meghatározónak a matematikai tehetség vonatkozásában. Másrészt annak felkutatása volt a célunk, hogy a matematikai teljesítményben a kreativitás meghatározottsága milyen jelentőségű; illetve a kreativitással az ismert elsődleges (nem, korosztály) és másodlagos (általános matematikai teljesítmény) háttérváltozóink milyen kapcsolatot mutatnak.

A pedagógusoknak készített kérdőív

A matematikai tehetség, a kognitív képességek (általános értelmi képességek és specifikus mentális képességek), a kreativitás és a személyiségjellemzők (általános faktor és motivációs faktor) interakciójaként képzelhető el (lásd1. ábra), azzal a kiegészítéssel, hogy megnyilvánulásában különböző külső feltételeknek (nem, korosztály, szociokulturális háttér stb.) is jelentős hatásuk lehet.

A szakirodalmi háttérrel összhangban készítettünk egy olyan kérdőívet, amely 45 itemet tartalmazott, s melyben ezeket az itemeket a fenti faktoroknak megfelelően lehet besorolni. A válaszadó mintegy 150 pedagógusnak (általános iskolában tanító matematikatanároktól egyetemi oktatókig) 1-től 5-ig terjedő skálán kellett megjelölnie, hogy az „adott tulajdonságot” a matematikai képesség szempontjából mennyire tekinti relevánsnak.

A vizsgálat eszközei

A matematikai tehetséget legjobban matematikai feladatokon keresztül lehet azonosítani. Ha tehát arra vagyunk kíváncsiak, hogy mi áll a matematikai tevékenység hátterében, a legkézenfekvőbb vizsgálati módszer az, ha különböző matematikai képességeket igénylő, különböző típusú matematikai feladatokat és azok megoldását elemezzük.

Mivel célunk a kreativitás és a matematikai teljesítmény kapcsolatának vizsgálata volt, kellett egyrészt egy olyan mutató, amely a vizsgálati személy általános matematikai teljesítményét reprezentálta (a továbbiakban: összteljesítmény_kreatív); illetve egy olyan mutató, amelyet a kreativitáshoz rendelhetünk hozzá. Az első mutatót négy különböző matematikai képességet mérő tesztsorozat (szöveges, számsor-, geometriai és versenyfeladatok) százalékos teljesítményéből kaptuk meg; a kreativitás vizsgálatát pedig egy olyan feladatsorral végeztük, amelyben az összeállított matematikai feladatok megoldásához elsősorban kreativitásra volt szükség.

A vizsgálat három korosztályt érintett: negyedik (131 fő), hetedik (162 fő) és tizenegyedik (158 fő) évfolyamos tanulókat, akik általános tanterv szerint tanulták a matematikát. Mindegyik korosztálynál különböző feladatsorokra volt szükség, szerkezetét tekintve azonban minden matematikai „részképességet” mérő teszt megegyezett. Ez azt jelenti, hogy a feladatlapokban ugyanolyan típusú feladatokat kellett megoldaniuk a negyedikes, a hetedikes és a tizenegyedikes diákoknak is, csak a nehézségi szint különbözött a korosztályi elvárásoknak megfelelően. A tesztek összeállításánál elsődleges cél volt, hogy a feladatok lehetőség szerint ismeretlenek legyenek a tanulók számára, ugyanakkor a korosztályos tudásszintnek megfeleljenek. A speciális matematikai képességeket ellenőrző feladatsorok megfelelő nehézségének és újszerűségének érdekében a feladatsorok összeállításához nemcsak a hazai irodalom, hanem az Erdélyben használatos tankönyvek is segítségül szolgáltak.

A kreativitás-feladatsor

A feladatsor nem a társadalmilag is új értékeket felvonultató kreatív produktumok és azok létrehozási folyamatát volt hivatott feltárni, hanem a tanulóknak speciálisan a matematika tantárgyban elért, illetve nyújtott alkotóképességét kívánta feltérképezni. Ennek megfelelően nem a kreativitásvizsgálatra készült tesztek valamelyikét (Körök teszt, Képbefejezési teszt, Szokatlan használat teszt stb.) alkalmaztuk, hanem saját magunk állítottuk össze a kérdéscsoportot. A gondolkodás flexibilitását (Dreyfus–Eisenberg 1998) megkívánó problémaszituációkat jól mutatják be a (matematikai) fejtörők, amelyek a tanulók többsége számára megfoghatók. Így a feladatsorba olyan feladatokat válogattunk, amelyek inkább játékosak és rejtvényszerűek voltak – semmint mély matematikai tudást igényeltek volna –, és amelyeknek több lehetséges megoldása létezett. Így a kreativitásnak mint mennyiségi változónak a mérése az értékelhető válaszok számával történt. (A matematikai feladatok egyik nagyon fontos jellegzetessége a megoldások számát tekintve, hogy különbözőképpen végződhetnek. Vannak olyan feladatok, amelyeknek egy megoldásuk van, vagy nincs megoldásuk; lehetnek olyanok, amelyeknek végtelen sok megoldásuk van, és vannak olyanok is, amelyeknek egynél több, de véges számú megoldásuk létezik. Ez a megkülönböztetés azért fontos, mert mindegyik típushoz egy-egy gondolkodásmód rendelhető.) A matematikai képességeknek és tehetségeknek számos jellemzője között szerepel ugyanis, hogy a matematikailag jó képességű egyén nem áll meg egyetlen megoldás megadásánál, hanem próbál újabb és újabb megoldásokat keresni.

Bár egyetlen teszttel kapcsolatban a megszerezhető tapasztalatok soha nem lehetnek elég gazdagok (Barkóczi–Zétényi 1981), mégis úgy gondoljuk, hogy a kapott eredmények segítségével közelebb juthatunk annak értelmezéséhez, hogy a matematikai teljesítmény szempontjából a kreativitás meghatározottságának mekkora a jelentősége a hazai oktatási keretek között.

Az összeállított feladatsorok reliabilitása (a Cronbach-α értéke) a három évfolyamon a korosztályi sorrendiséggel összhangban: 0,712; 0,784 és 0,794.

Egyéb matematikai feladatsorok

Ahhoz, hogy a kreativitást viszonyítani tudjuk a matematikai teljesítményhez, szükségünk volt egy mutatóra, amellyel azt fejeztük ki, hogy a vizsgált személynek milyen a matematikai teljesítménye. Differenciált képet akkor kaphatunk a matematikai tudásról, ha minél több oldalról próbáljuk meg feltérképezni ezt a képességet, hiszen a matematikát tanulmányozva rögtön szembetaláljuk magunkat annak sokszínűségével és összetettségével, amely egyaránt vonatkozik a feladatok különbözőségére és nehézségére. A kreativitás-feladatsoron kívül négy olyan feladatsort állítottunk össze, amely más és más matematikai részképességeket mért. A számsorteszt a logikai következtetőképesség tipikus jellemzőit: a fejlett absztrahálóképességet, a funkcionális jellegű gondolkodást, a különböző lánckonklúziók megfogalmazásának a képességét és az elég magas koncentrálóképességet mérte. A szöveges feladatok összeállításánál a mennyiségi gondolkodás vizsgálatát céloztuk meg, megoldásához a matematikai tulajdonságok és relációk ismeretére volt szükség. A geometriai feladatsor a transzformációs képességet mint az alkalmazkodó szemléletmód egyik dimenzióját vizsgálta egyrészt síkgeometriai, másrészt térgeometriai feladatokon keresztül. A versenyfeladatok olyan problémákat tartalmaztak, amelyek megoldásához a megoldónak nem volt szüksége mély matematikai ismeretekre, a megoldás hangsúlya az ötleten volt. Ez volt az egyetlen olyan feladatsor, amelyben több feladattípus is képviseltette magát. Ezzel a négy feladatsorral olyan mutatót kaptunk, amely elég jó közelítéssel jellemezheti a vizsgált személyek általános matematikatudását.

A vizsgálat eredményeinek bemutatása

A tanári kérdőív eredményei

A korábban már ismertetett kérdőívet mintegy 150 matematikát oktató tanár töltötte ki. A felmérés célja az volt, hogy feltérképezzük, milyen komponenseket tartanak fontosnak a megkérdezettek a matematikai tehetség vonatkozásában.

A 2. ábrából leolvasható, hogy a válaszadók többsége az öt faktor közül legfontosabbnak azokat az összetevőket tartotta, amelyek az általános értelmi képesség csoportjába tartoztak. A kreativitás – megelőzve a feladat iránti elkötelezettséget, a specifikus mentális képességeket és az általános személyiségjellemzőket – a második helyen szerepel a megítélésben.

2. ábra • A matematikai tehetség összetevőinek megítélése az egész mintában

A vizsgálatban részt vevő tanárokat két csoportba lehetett osztani a tekintetben, hogy az illető tanár olyan iskolában dolgozik-e, amely részt vesz vagy kapcsolatban áll a tehetséggondozással vagy sem. Az 1. táblázat a két csoport közötti különbséget mutatja be. Minden faktor esetében jól látható, hogy annál a csoportnál, amely kapcsolódik a tehetségprogramhoz, az adott faktorokhoz tartozó átlagok (az adott összetevő fontosságának megítélése szempontjából) magasabbak, mint a másik csoport esetén. Ugyanakkor a két csoportnál nincs különbség a sorrendiségben, vagyis mindkét csoport az általános értelmességet tartotta a legfontosabb összetevőnek, az általános személyiségjellemzőket legkevésbé fontosnak.

A kapott (elméleti) eredmény alapján elmondható, hogy a pedagógusok a matematikai képesség szempontjából kiemelt tényezőnek tekintik a kreativitást.

1. táblázat • A két csoport esetén az egyes tehetség-összetevők megítélésének átlagai
  Általános értelmi képesség Kreatív képesség Specifikus mentális képesség Általános személyiség-
jellemzők
Feladat iránti elkötelezettség
Nincs a tehetség-
programban
Átlag 3,9638 3,9163 3,5934 3,1824 3,6695
Elemszám
68
68
68
68
68
Szórás
,51500
,53902
,66207
,64446
,52679
Benne van a tehetség-
programban
Átlag 4,2164 4,2054 3,9859 3,6746 4,0753
Elemszám
83
83
83
83
83
Szórás
,51100
,50462
,56194
,56065
,58200
Összesen Átlag 4,1026 4,0752 3,8092 3,4529 3,8925
Elemszám
151
151
151
151
151
Szórás
,52641
,53835
,63782
,64632
,59173
A kreativitás vizsgálatának eredményei

Arra a kérdésre, hogy az emberek miért nem egyformán oldanak meg különböző matematikafeladatokat – így olyan matematikai feladatokat is, amelyekben a kreativitás játssza a döntő szerepet –, rengeteg válasz adható. Ugyanakkor minden fontos változó megtalálása és megadása szinte lehetetlen. Nagyobb sikerrel járhatunk, ha arra keressük a választ, hogy melyek azok a háttérváltozók, amelyek befolyásolhatják a kreatív matematikafeladatok megoldását.

A meglévő adatbázison egy olyan modellt állítottunk fel, amelyben arra kerestük a választ, hogy „mennyire függ a vizsgált személyek kreatív matematikai teljesítménye a nemüktől, az életkoruktól és az általános matematikai teljesítményüktől”. Ennek megfelelően az alábbi három kérdéskört jártuk körbe: (1) A fiúk jobbak-e a kreatív matematikai feladatok megoldásában, mint a lányok? (2) Az életkor előre haladtával egyre jobb kreatív képességekkel rendelkezünk-e? (3) Igaz-e, hogy az általános matematikai teljesítmény kapcsolatban áll a kreatív matematikai feladatok megoldásával?

A leíró statisztika eredményei

A kreativitástesztben elért átlagos teljesítmény 29,06% (szórás=13,01); ez a többi matematikai feladatsorban elért teljesítményhez képest a leggyengébb. A legjobb teljesítményt a vizsgált személyek a számsortesztben érték el: számsortelj=65,07% (szórás=24,13); ezt követte a geometria (41,72%, szórás=18,85), a szöveges (41,65%, szórás=23,44) és a versenyfeladatsorok teljesítménye (37,62%, szórás=26,04). A kreativitásteszt mintaátlagának eloszlását a 3. ábra mutatja, melyből leolvasható, hogy az a normális eloszlást követi.

3. ábra • A kreativitásteszt eloszlása

A nemek és a kreativitás kapcsolata

Amikor azt akarjuk megnézni, hogy a fiúk jobban teljesítenek-e a kreatív feladatok megoldásában, mint a lányok, nem csupán a fiúk átlagteljesítményeit hasonlítjuk össze a lányok átlagteljesítményével, hanem arra is keressük a választ, hogy a két átlagteljesítmény közötti különbség elég nagy-e ahhoz, hogy a teljes populációban is létezőnek tekinthessük. A fiúk teljesítményének átlaga 30,33% (szórás=13,44), míg ugyanez a lányok esetén 27,91% (szórás=12,55). Ez a teljesítmény mindkét nem esetén a vizsgált öt feladatsorra vonatkoztatva a leggyengébb volt (4. ábra).

4. ábra • A nemek közötti teljesítményeltérések a különböző feladatsorok esetén

A lányok és a fiúk kreativitása között – a t-próbát elvégezve – nincs szignifikáns különbség, (p>0,05), azaz a vizsgált személy neme szignifikánsan nem befolyásolja a kreatív feladatokban a teljesítmények alakulását.

A korosztály és a kreatív teljesítmény összefüggése

A kreativitástesztben kapott százalékos teljesítményeket az egyes korcsoportok esetén az 5. ábra mutatja be. A legjobb teljesítményt a hetedikes korosztály érte el (az öt matematikateszt esetén egyetlen kivétel mutatkozott, amelyben nem ez a korcsoport érte el a legjobb teljesítményt, ez az induktív gondolkodást mérő számsorteszt volt).

5. ábra • A korosztály és a kreatív teljesítmény kapcsolata

A három évfolyam között szignifikáns különbség adódott (p<0,05) a kreativitást vizsgáló feladatsorok tekintetében (2. táblázat), vagyis a kreatív matematikai teljesítményt determinálja az életkor.

2. táblázat • A kreatív feladatok és a korcsoport kapcsolata
Kreatív feladatok %-ban * csoport Négyzetes összeg Szabadsági fok Variancia F Szignifikancia
Külső variancia 4 645,631 2 2322,815 14,751 ,000
  1 144,816 1 1144,816 7,270 ,007
  3 500,815 1 3500,815 22,232 ,000
Belső variancia 57 002,131 362 157,464    
Összes 61 647,762 364      

A kreatív teljesítményt 1,9%-ban befolyásolja az, hogy a vizsgált személy melyik osztályban tanul, ez a magyarázó erő azonban nem tekinthető jelentősnek.

Az általános matematikai teljesítmény (összteljesítmény_kreatív) és a kreatív teljesítmény összefüggése

A vizsgált személyekhez matematikai teljesítmény szempontjából két mutatót rendeltünk, az egyik a kreatív feladatsorban nyújtott teljesítményüket mutatta meg (százalékban kifejezve), a másik mutató pedig a többi feladatsor (szöveges, számsor, geometria és verseny) által összesített teljesítményt (összteljesítmény_kreatív) reprezentálta. Ez utóbbit kategoriális változóként kezeltük, a teljesítmény alapján nagyon gyenge, gyenge, jó és nagyon jó kategóriákkal jellemeztük. A kreatív feladatsor teljesítménye és a többi feladatsorokból összeadódó összteljesítmény (összteljesítmény_kreatív) közötti kapcsolatot a 6. ábra mutatja be. A kapcsolat jó közelítéssel lineárisnak tekinthető (r=0,548), vagyis azok a diákok, akiknek jó az összteljesítményük, a kreatív feladatsorban is jó teljesítményt érnek el, míg azok, akik gyengén teljesítettek az általános matematikai feladatsorok megoldásában, azok gyengén teljesítettek a kreativitástesztben is.

6. ábra • A kreatív teljesítmény az összteljesítmény függvényében

Az általános matematikai teljesítmény (összteljesítmény_kreatív) és a kreativitás között szignifikáns a kapcsolat, így kijelenthetjük, hogy a vizsgált személyek matematikai átlagteljesítménye szignifikánsan befolyásolja a kreativitást. Miután nyilvánvalóvá vált, hogy a független változó szignifikáns részt magyaráz a függő változó heterogenitásából, érdemes azzal foglalkozni, hogy milyen erős ez a hatás, azaz, mekkora a megmagyarázott hányad. A megmagyarázott hányad torzítatlan értéke 14,3% (3. táblázat), vagyis a kreativitásteszt tekintetében közepes mértékű befolyásoló tényezőt képvisel az általános értelemben vett matematikai teljesítmény.

3. táblázat • Az összteljesítmény_kreatív magyarázó ereje a kreatív teljesítmény vonatkozásában
Kreatív feladatok %-ban R R2 Eta Eta2
Összteljesítmény_kreatív feladatok nélkül csoportosítva ,379 ,143 ,382 ,146

A kapott eredmények összesítésekor az körvonalazódik, hogy ha az adott háttérváltozóinkat külön-külön vizsgáljuk, akkor a három változó közül csak a korosztály és az összteljesítmény_kreatív játszik befolyásoló szerepet a kreativitás tekintetében (7. ábra).

7. ábra • A kreativitást befolyásoló háttérváltozók magyarázó ereje

A továbbiakban ezeket a háttérváltozókat egy közös modellbe helyeztük, és így vizsgáltuk meg, hogy a nem, a korosztály és az összteljesítmény_kreatív együttesen hogyan befolyásolja a kreativitást. Továbbá megnéztük azt is, hogy a szignifikáns befolyásoló tényezőt jelentő független változók milyen magyarázó erőt képviselhetnek az adott részképesség tekintetében, illetve a háttérváltozók között van-e interakció. Az eredmények alapján elmondható, hogy ugyanaz az eredmény adódott, mint amikor külön modellben kezeltük a változókat, vagyis a korosztály (p<0,05) és az összteljesítmény (p<0,05) mutat itt is szignifikáns kapcsolatot a függő változónkkal; a nem szignifikánsan nem befolyásolja a kreatív teljesítményt (p>0,05).

Ilyenformán ha a modellből kivesszük a nemet, akkor a korcsoport és az összteljesítmény együttesen 20%-os magyarázó erőt képvisel; a megmaradt háttérváltozók között pedig nincs interakció (p(no_kre*korcsoport)>0,05). Ez a modell szempontjából kedvező, hiszen ha nincs interakció, akkor a két háttérváltozó között nincs kapcsolat, vagyis van értelme a két független változó (korcsoport és összteljesítmény_kreativitás) együttes hatásáról beszélni.

A kreatív matematikai teljesítmény megjelenése az általános matematikai teljesítményben

A vizsgálat fő kérdése az volt, hogy a kreativitás hogyan jelenik meg az általános matematikai teljesítményben. A kiértékelés ezen szakaszában elkészítettünk egy olyan mutatót, amely az általános matematikai teljesítményt jellemezte. Ez a mutató az alábbiakban felsorolt négy, valamint a kreativitásteszt teljesítményeinek eredményeiből állt össze, amelyet a kreatív feladatsoron kívül az alábbiakban megadott feladatsorok segítségével mértünk.

A számsorteszt a logikai következtetőképesség tipikus jellemzőit adta meg: a fejlett absztrahálóképességet, a funkcionális jellegű gondolkodást, különböző lánckonklúziók megfogalmazásának a képességét és az elég magas koncentrálóképességet.

A geometriai feladatlapban sík- és térbeli feladatok szerepeltek. A síkgeometriai feladatoknál a cél a képzelőerő fejlettségének vizsgálata volt, a transzformációs képességet mint az alkalmazkodó szemléletmód egyik dimenzióját mérte. A térgeometriai feladatok célja a vizuális formákkal való tevékenység és ezen produkciók képességének mérése volt. Ezekben a feladatokban nemcsak a közvetlen észlelés tekinthető lényeges elemnek, hanem az észlelések emlékezeti felidézése is, hiszen e két funkció helyes együttműködése eredményezhette a síkban adott formák létrehozásának és további alakításának a feltételét.

A szöveges feladatsor a mennyiségi gondolkodást vizsgálta, vagyis a matematikai tulajdonságok és relációk ismeretét. Ehhez a feladatsorhoz tényleges matematikai ismeretekre volt szükség abban a vonatkozásban, hogy a feladatok matematikai reprezentációja arányosságok megállapítását, egyenletek felírását stb., valamint ezek megoldását igényelte.

A versenyfeladatsort alkotó feladatok megoldása – bár matematikai gondolkodást kívánt – formális tudást alig igényelt. A feladatsor nehézségét csak az jelentette, hogy mennyire figyelünk a megoldás során a részletekre, amelyek az ötlet megragadásához nyújtottak segítséget.

Ehhez a négy részképességhez vettük hozzá a kreativitásteszt eredményét, és így készítettük el azt a százalékos értéket, amelyet matematikai összteljesítménynek neveztünk el. Ennek a matematikai összteljesítménynek és az egyes részképességeket mérő feladatsoroknak néztük a korrelációját. A 8. ábra egyrészt bemutatja ezeket a korrelációs együtthatókat, másrészt pedig az értékelés és az összehasonlítás szempontjából megmutatja a többi matematikateszt esetén is mindazokat a háttérváltozókat, amelyek befolyásolják az adott feladatsorban elért teljesítményt. A legszorosabb korrelációt az összteljesítménnyel a szöveges feladatsor adta (r=0,843), a leggyengébb kapcsolat a geometriával adódott (r=0,479), és csak ezt előzte meg a kreativitás (r=0,56). A geometria-feladatsor gyenge korrelációja viszonylag könnyen magyarázható, ha elfogadjuk azt, hogy a matematikai feladatok megoldása során csak azok kis hányadában van szükségünk geometriai formulák és összefüggések alkalmazására, transzformációk létrehozására, a síkidomok és testek tulajdonságainak felhasználására, térelemek kölcsönös helyzetének meghatározására stb. A szöveges feladatsor meghatározottsága a mennyiségi gondolkodást reprezentálva nem meglepő, hiszen ez a feladatsor foglalta magába az alkalmazható matematikai ismereteket. Az induktív gondolkodást vizsgáló számsor is erős korrelációt mutat az összteljesítménnyel (r=0,745), a tanulók elsősorban a kidolgozott példákon keresztül induktívan tanulnak, azaz a példa lépéseit követve általánosítják vagy elvonatkoztatják az adott készség tekintetében a helyes eljárást. A kreativitás gyenge korrelációja azzal magyarázható, hogy a kreativitás faktora a matematika oktatásában háttérbe szorul. Ez viszont ellentmond annak a felmérésünknek, amelyben pedagógusokat kérdeztünk meg arról, hogy mit tartanak a matematikai képesség szempontjából meghatározó jelentőségűnek. Ott ugyanis azt kaptuk, hogy a kreativitás meghatározottsága jelentős. Elméletben tehát a kreativitás megítélése jelentős, a gyakorlat azonban mindennek ellentmondani látszik, mert a matematikai összteljesítményben, vagyis átlagos matematikai teljesítményben nem jelentős a meghatározottsága.

8. ábra • Az összteljesítmény és a matematikatesztek közötti korreláció

A kiértékelés további részében megnéztük, hogy a feladatsorok között van-e átfedés, milyen a különböző változók közötti kapcsolat; át tudjuk-e alakítani az eredeti változóinkat lineáris transzformáció segítségével az eredetinél kisebb számú, új változószetté. Meg lehet-e adni olyan új változókat, amelyek korrelálatlanok egymással, és a kiinduló változók által megtestesített információtömeg lehető legnagyobb részét megőrzik. A kérdés megválaszolásához a faktoranalízist használtuk. A Kaiser–Meyer–Olkin- (KMO) mutató értéke, valamint a Bartlett-teszt eredménye szerint (p<0,05) teljesülnek a minimális követelmények.

Annak eldöntéséhez, hogy hány latens dimenzióba próbáljuk meg „begyömöszölni” az öt mért változót, a lejtődiagram ad segítséget (9. ábra), amely szerint egy viszonylagosan nagy információtartalommal rendelkező faktorra számíthatunk (csak azokat tekinthetjük aggregált változóknak, amelyeknél a saját érték nagyobb 1-nél).

9. ábra • A lejtődiagram

A 4. táblázat a végső kommunalitás oszlopban azt tünteti fel, hogy a létrehozott faktor a mért változók szóródásának hány százalékát magyarázza. Ahol kicsi a kezdeti kommunalitás értéke, azt a változót kevésbé magyarázza az összes többi változó; vagyis az simul bele legkevésbé a latens struktúrába. A geometriai feladatsornak nagyon kicsi a kezdeti kommunalitása.

4. táblázat • A kommunalitásértékek százalékban megadva
  Kezdeti kommunalitás Végső kommunalitás
Alkalmazott eljárás: Maximum Likelihood.
Számsorteszt ,431 ,527
Szöveges feladatok ,517 ,736
Versenyfeladatok ,390 ,470
Kreatív feladatok ,175 ,200
Geometriai feladatok 0,079 0,072

A 5. táblázat bemutatja a faktorokban megtestesülő információtartalmat, a modellünkben kapott egyetlen faktor önmagában 40,10%-ot őriz meg a változók eredeti információtartalmából.

5. táblázat • Az egyetlen faktor által kapott információtartalom
Faktor Kezdeti saját érték megmagyarázott hányada A változók teljes varianciájából
Összes Variancia % Kumulatív % Összes Variancia % Kumulatív %
Alkalmazott eljárás: Maximum Likelihood.
1 2,49 49,83 49,83 2,00 40,10 40,10
2 ,92 18,40 68,23      
3 ,75 15,05 83,27      
4 ,49 9,88 93,15      
5 ,34 6,85 100,0      

A 6. táblázat a faktorsúlyokat mutatja, amelyek jelzik, hogy az egyes változók mekkora súllyal és milyen irányban alakítják a kapott faktorunkat.

6. táblázat • A faktorsúlyok százalékban megadva
  Faktor 1
Alkalmazott eljárás: Maximum Likelihood.
Szöveges feladatok ,858
Számsorteszt ,726
Versenyfeladatok ,685
Kreatív feladatok ,448
Geometriai feladatok ,269

A geometriai feladatok faktorsúlya a legkisebb (0,269), ez éppen meghaladja azt a határt (0,25), amely alatti faktorsúllyal nem lehet az adott komponens a faktor eleme. Mivel a modell illeszkedését mutató szignifikanciaérték (p>0,05) is elfogadható, így annak ellenére nem foglalkoztunk a modell javításával, hogy a geometriai feladatsor kezdeti kommunalitása alacsonynak bizonyult.

A faktorsúlyok szerint a szöveges feladatsor által képviselt mennyiségi gondolkodás és a számsortesztben érvényesülő induktív gondolkodás jellemzi leginkább a kapott faktorunkat. Ebben a faktorban a geometria és a kreatív feladatsor szerepel legkevésbé meghatározóan, összhangban azzal, amit a korrelációs együtthatóknál kaptunk.

Összefoglalás, következtetések

A matematika rendszerez, axiomatizál, levezet, bizonyít, új fogalmakat vezet be. Egy flexibilis gondolkodású, kiváló felfogású ember már minimális előismerettel is hozzáfoghat tanulmányozásához, elmerülhet a problémák megoldásában. Az új fogalmak megértéséhez azonban szellemi erőfeszítésre is szüksége van. A matematika igyekszik a lényegre csupaszítani a hétköznapi fogalmakat, amivel egy olyan nyelvezetet hoz létre, amely tisztább és egyértelműbb beszéd, mint az anyanyelvünk. Ennek ellenére azonban a mai matematika sem teljesen önmagáért beszélő valami; egyesek számára egész életen keresztül ismeretlen és megismerhetetlen terület marad, míg mások számára kiváló produktumok létrehozásának „színtere”. Számos ellentmondást hordoz magában, amelyeknek feltárása a terület objektív jellege ellenére is igen nagy nehézséget jelent. Az bizonyos, hogy a matematikai tehetségnek számos összetevője van, amelyek meghatározottsága a matematikai tehetség szempontjából különböző mértékű. Vannak olyan összetevők, amelyek elengedhetetlenül szükségesek a kiváló matematikai produktum létrehozásához, ugyanakkor meglétük mégsem elegendő. Hipotézisünk szerint a matematikai tehetség azonosításában az egyik legfontosabb faktor a kreatív gondolkodás: a matematikából jó képességűnek mondható diákoknál elsősorban a divergens gondolkodást megcélzó tesztek eredményei várhatók jobbnak, mint a begyakorlott és algoritmizált megoldásokat igénylő rutinszerű feladatokat tartalmazó tesztek eredményei. Ilyen vonatkozásban, a matematikai tehetség szempontjából az egyik legjelentősebb összetevőnek a kreatív feladatokat tartalmazó feladatsorokat tartottam, míg a monoton és egyhangú műveleteket igénylő – rutinszerű – próbákat (pl. számsorteszt) nem tartottam relevánsnak. A vizsgálat középpontjába így került a kreativitás, amit több oldalról próbáltunk körbejárni.

Elsőként matematikatanárok véleményét kérdeztük meg a matematikai tehetségről, amelyben az egyik fő szegmens a kreativitás volt, az itemek ötödrésze a kreativitás megítélésére vonatkozott. A kreativitás összetevőinek megítélése a matematikai képesség vonatkozásában az öt hely közül a második helyet foglalta el az általános értelmi képesség mögött, megelőzve a motivációt, a specifikus mentális képességeket, valamint az általános személyiségjellemzőket. Eszerint a matematikai tehetség szempontjából a kreativitás megítélése jelentős. Ez több szempontból sem lehet véletlen, hiszen a matematikaoktatás egyik célja éppen az, hogy a gyerekek ne csak a megszokottat tekintsék természetesnek, hanem a megtanulttól eltérően is tudjanak látni, s a megszerzett ismereteken nyugvó gondolkodásmóddal le tudjanak térni a járt útról.

A vizsgálat második részében a kreativitás és a matematikai teljesítmény kapcsolatának feltérképezése volt a cél. A (1) nemek tekintetében azt kaptuk, hogy a fiúk jobb teljesítményt nyújtottak, mint a lányok – éppen úgy, mint a vizsgált összes feladatsor esetén –, ugyanakkor a nemek kreativitása között nem mutatkozott egyik évfolyamon sem szignifikáns különbség. A (2) korosztály függvényében a kreatív feladatsorok százalékos teljesítménye a hetedik évfolyam esetén volt a legmagasabb (a negyedikesek teljesítménye 24,29%, a hetedikeseké 33,27%, a tizenegyedikeseké 29,52%). Jól látszik a kapott eredményből, hogy a kreativitás nemcsak fejleszthető, hanem háttérbe is szorítható. Ez utóbbi magyarázataként számos tényező szolgálhat, amelyek közül a legkézenfekvőbb, hogy a középiskolák az érettségire és a továbbtanulásra való felkészítés miatt hatalmas mennyiségű lexikális tudást követelnek meg a tanulóktól, emiatt a gondolkodásra nevelés háttérbe szorul. Ezáltal a középiskolákban az iskolai munka ritkán kedvez a kreativitásnak; a formális nevelésben a hangsúlyt még mindig az intelligenciára, azaz a szilárd, szűk, tudományok szerint történő ismeretgyűjtésre helyezik. A minden emberben rejlő kíváncsiságot elnyomják, a konform viselkedést fejlesztik, az eredetiséget leblokkolják. E nevelés következményeként az egyént nem a jövőre készítjük fel, hanem a múltat preferáljuk (Rozgonyiné 1989). Ugyanakkor a tizenegyedik évfolyamon már a pályaválasztás jelentős mértékben meghatározza a diákok orientáltságát; az elmúlt évek tapasztalatai pedig azt mutatják, hogy a továbbtanulásban a matematika, általánosságban pedig a természettudományos pályák iránti érdeklődés háttérbe szorult. Az igaz, hogy minden tantárgy alkalmas arra, hogy vele, benne, általa fejlesszük a tanulók kreatív gondolkodását, motivációját, igényeljük és méltányoljuk a kreatív teljesítményeket (Rozgonyiné 1989); arról azonban nem lenne szabad teljesen elfeledkeznünk, hogy a matematika az a tantárgy, amely élénkebb képzelőerőt tételez fel minden más tudománynál. Manapság már nemcsak a tudomány alakulása, hanem a mindennapi élet kihívásai is megkívánják, hogy minél többen rendelkezzenek azzal a sajátossággal, hogy a megszokottat ne tekintsék természetesnek, hanem a megtanulttól eltérően is tudjanak látni.

A leíró statisztikai elemzések után megvizsgáltuk, hogy a kreativitás szempontjából az elsődleges (nem, korosztály) és másodlagos (általános matematikai teljesítmény) háttérváltozók milyen magyarázó erőt képviselnek. Először külön-külön, majd pedig egy modellben kezeltük ezeket a változókat. Amikor a változókat külön kezeltük, a nem és az összteljesítmény_kreatív változók szignifikáns részt magyaráztak a függő változó heterogenitásából. A varianciaanalízis eredményei szerint a korosztály által magyarázott hányad 1,9% (R2 = 0,19); míg az általános matematikai képesség által megmagyarázott torzítatlan érték 14,3% (R2 = 0,143). A kapott eredmények alapján úgy tűnik, hogy az elsődleges háttérváltozók meghatározottsága nem jelentős, míg az általános matematikai teljesítmény és a kreativitás kapcsolata közepes mértékű. A háttérváltozók közös modellben való vizsgálatakor ugyanazt az eredményt kaptuk, mint amikor változóinkat külön kezeltük, azaz a korosztály és az összteljesítmény releváns volt, a nem és a kreativitás között pedig nem mutatkozott szignifikáns kapcsolat. Ha a közös modellből kivettük a nemet, a megmaradt két változó interakcióját vizsgálva kiderült, hogy a korosztály és az összteljesítmény között nincs kapcsolat (p<0,05); vagyis ha rögzítjük az egyik független változó értékét, akkor a másik független változó mentén ugyanúgy fog viselkedni a függő változó, mintha az első független változó egy másik értékét rögzítenénk. A két független változóval a kreatív teljesítmény heterogenitásából a modellünkkel megmagyarázott hányad 20%-nak adódott, ami ha megnézzük a 8. ábrát, jól látszik, hogy a legalacsonyabb értéket jelenti. Úgy tűnik tehát, hogy a nem, a korosztály és az összteljesítmény magyarázó hányada a kreativitás tekintetében a legcsekélyebb, míg egyes tesztek esetén eléri az 50%-ot is (pl. szöveges feladatsor).

A vizsgálat harmadik momentuma annak feltérképezése volt, hogy a kreativitás a matematikai teljesítményben milyen meghatározottsággal szerepel. Minden vizsgált személy kapott egy mutatót összteljesítmény elnevezéssel, amely az egyes matematikai feladatsorok által kapott teljesítmények összességéből adódott. Megvizsgáltuk ezen összteljesítmény és az egyes matematikai feladatsorok által mért teljesítmények közötti korrelációt, amelyből azt kaptuk, hogy a korrelációs együttható a geometriai feladatsor után a kreativitás esetén a legalacsonyabb (r =0,56); míg azoknál a feladatsoroknál, ahol elsősorban begyakorlott és algoritmizált feladatokat kellett megoldani, a kapcsolat igen szorosnak bizonyult. Faktoranalízis segítségével is megnéztük, hogy a változók redukciója során a vizsgált terület hány faktorral helyettesíthető, illetve, hogy ez a faktor az információmennyiség hány százalékát képes megőrizni. A kapott egyetlen faktort a szöveges feladatsor által reprezentált mennyiségi gondolkodás és a számsorteszt által megadott induktív gondolkodás jellemezte, a kreatív gondolkodásmód meghatározottsága a faktorsúly alapján nem tűnt relevánsnak. Az eredmények vonatkozásában tehát úgy látszik, hogy a matematika oktatásában éppen a matematika lényeges vonása, a kreatív gondolkodásmód szorul háttérbe. Nemcsak magyar, de európai jelenség is, hogy a tanárok többnyire ellenzik a tanulók kérdésfeltevését, a gondolkodásban való függetlenséget. Számos hazai és külföldi szerző is (Getzels–Jackson 1962; Taylor 1964; Torrance 1964; Salamon 1979; Gergencsik 1987; Rozgonyiné 1992) egymással összhangban állítja, hogy az oktatási rendszerek – így a magyar is – inkább a konformista gondolkodásmódot (és viselkedésmódot) részesítik előnyben. A konformista módon viselkedő tanulókat a helyes válaszra oktatják, amivel háttérbe kerül az a fajta szellemi potencialitás, amely az új lehetőségeket és az intellektuális kérdésekre vonatkozó eredeti válaszokat tárja fel (Rozgonyiné 1992). Éppen ennek következménye az, hogy az ilyen kultúrákban a jutalmazás középpontjába azok a tanulók kerülnek, akik időben befejezik munkájukat, engedelmesek, szorgalmasak, túlbuzgók, társaik körében közkedveltek, elfogadják a tekintélyt; vagyis a kreatív személyiségjegyek nem foglalnak el kedvező helyet.

A magyar oktatás még mindig ismeretcentrikus, elsősorban a tananyag tartalmára, a megfelelő szaktudomány szempontjából fontos tudásra helyezi a hangsúlyt. A természettudományos tárgyak oktatásában, így a matematika oktatásában a tanulókat passzivitásra kényszerítjük, azt várjuk tőlük, hogy olvassák el a tankönyvet, és az olvasottak alapján válaszoljanak a kérdésekre, oldjanak meg feladatokat stb. Megelégszünk a konvergens gondolkodást igénylő feladatok gyakoroltatásával, és az értékelésnél is ez kap hangsúlyos szerepet. Lehet, hogy a deduktív forma a cél, de a hajtóerő akkor is az intuíció és az alkotókedv kell hogy legyen. Nem szabad megragadni azon a szinten, hogy a matematikát definíciókból és posztulátumokból levezetett tételek rendszerének tekintsük. Ha ez ugyanis igaz lenne, és a matematikaoktatásban erre helyeznénk a hangsúlyt, akkor a matematika definíciókkal, szabályokkal és szillogizmusokkal való játék lenne minden cél és értelem nélkül. A matematika azonban az emberi gondolkodás egy olyan jellegzetes terméke, amelyben a legtisztábban fejeződik ki a megfigyelő értelme, vállalkozó kedve és esztétikai érzéke (Courant–Robbins 1966).

 

Hivatkozott irodalom

Amabile, T. M. (1983): The Social Psychology of Creativity. Springer, New York.

Barkóczi I. – Zétényi T. (1981): A kreativitás vizsgálata. Pszichológiai tanácsadás a pályaválasztásban. Módszertani füzetek, Budapest.

Baron, J. (1998): Thinking and Deciding. Cambridge University Press, Cambridge.

Brogden, H. E. – Sprecher, T. B. (1959): Criteria of Creativity. In Taylor, C. W. (ed.): Creativity: Progress and Potential. Chapter 5.

Carroll, J. B. (1993): Human Cognitive abilites: A Survay of Factor-analitic Studies. Cambridge University Press, New York. Idézi Carroll, J. B. (1996)

Carroll, J. B. (1996): Matematikai képességek: Faktoranalitikus megközelítése. In Sternberg, R. J. (szerk.): A matematikai gondolkodás természete. Vince Kiadó, Budapest.

Courant R. – Robbins H. (1966): Mi a matematika? Gondolat Könyvkiadó, Budapest.

Csapó B. (1992): Kognitív pedagógia. Akadémiai Kiadó, Budapest.

Dreyfus, T. – Eisenberg, T. (1998): A matematikai gondolkodás különböző oldalairól. In Sternberg, R. J. – Ben-Zeev, T. (szerk.): A matematikai gondolkodás természete. Vince Kiadó, Budapest.

Gagné, F. (1991): Toward a Differentiated Model of Giftedness and Talent. In Colangelo, N. – Davis. G. A. (eds.): Handbook of Gifted Education. Allyn and Bacon, Boston.

Gergencsik E. (1987): Kreativitás és közösség. Tankönyvkiadó, Budapest.

Getzels, J. C. – Jackson, P. W. (1962): Creativity and Intelligence: Exploration with Gifted Students. Wiley, New York.

Gilhooly, K. J. (1998): Thinking: Directed, Undirected and Creative. Academic Press, London and San Diego.

Guilford, J. P. (1959): Traits of Creativity. In Anderson, H. (ed.): Creativity and Cultivation. American Psychologist, New York.

Guilford, J. P. (1967): Some New Views of Creativity. In Helson, H. (ed.): Theories and Data in Psychology. Princeton.

Gyarmathy É. (2001): A tehetségről. Arany János Tehetséggondozó Program Intézményeinek Egyesülete, Miskolc.

Gyarmathy É. (2002): A matematikai tehetségek. Új Pedagógiai Szemle, 5. sz.

Halmos P. (1981): A matematika szíve. Természet Világa, 10.

Kontra J. (2000): A problémamegoldó gondolkodás néhány elemének összefüggése a matematikai eredményességgel. Doktori értekezés, Szeged.

Kruteckij, V. A. (1968): Pszichologija matyematyicseszkih szposzobnosztyej skolnyikov. In Rosca, A. – Zörgő, B.: A képességek. Tudományos Könyvkiadó, Budapest.

Landau, E. (1974): A kreativitás pszichológiája. Tankönyvkiadó, Budapest.

MacKinnon, D. W. (1962): The Nature and Nurture of Creative Talent. American Psychologist, 17.

Mayer, R. E. – Hegarty, M. (1998): A matematikai problémák megértésének folyamata. In Sternberg, R. J. – Ben-Zeev, T. (szerk.): A matematikai gondolkodás természete. Vince Kiadó, Budapest.

Mihály I. (2002): PISA 2000 – a hivatalos OECD-jelentés tanulságai. Új Pedagógiai Szemle, 7–8. sz.

Mönks. F. J. (1992): Development of gifted children: The issue of identificaton programming. In Mönks, F. J. – Peters, W. A. M. (eds.): Talent for the Future. Gorcum, Assen/Maastricht.

Nagy L. (1930): A tehetség lélektani problémái. In Harsányi, I. (1994): Tehetségvédelem. Magyar Tehetséggondozó Társaság, Budapest.

Perkins, D. N. (1990): The Nature and Nurture of Creativity. In Jones, B. F. – Idol, L. (eds.): Dimensions of thinking and cognitive instruction. Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale N. J.

Renzulli, J. S. (1977): The Enrichment Triad Model. Creative Learning Press, Wechters Field.

Renzulli, J. S. (1986): The Tree-ring Conception of Giftedness: a Developmental Model for Creative Productivity. In Sternberg, R. J. – Davidson, J. E. (eds.): Conceptions of Giftedness. Cambridge University Press, Cambridge.

Révész G. (1918): A tehetség korai felismerése. Benkő Gyula Csász. és Kir. Könyvkiadó, Budapest.

Rohr, A. R. (1975): Kreative Prozesse und Methoden der Problemlösung. Beltz Verlag, Ewinheim und Basel.

Rosca A – Zörgő B. (1973): A képességek. Tudományos Könyvkiadó, Budapest.

Rozgonyi Tiborné Váradi Éva (1989): A kreativitás és a problémamegoldás jellemzői matematikai feladatmegoldásokban. Doktori disszertáció, Nyíregyháza.

Rozgonyi T. (1992): Az általános iskolai tanárok tehetséges tanulókkal kapcsolatos attitűdje és azok hatása a tanulók matematikai problémamegoldására és kreativitására. Doktori értekezés, Nyíregyháza.

Salamon, J. (1979): A gyakorlati problémamegoldás és a kreativitás fejlődésének kutatási problémái. In Salamon J. (szerk.): Az alkotó gondolkodás kutatási problémái. Akadémiai Kiadó, Budapest.

Simonton, D. K. (1978): The Eminent Genius in History: the Critical Role of Creative Developement. Gifted Child Quarterly, 22, 2.

Skemp, R. R. (1971): The psychology of Learning Mathematics. Penguin Books, Toronto.

Tannenbaum, A. J. (1983): Gifted children: Psychological and Educational Perspectives. Macmillan, New York.

Taylor, C. W. (1964): Creativity: Progress and Potential. McGraw Hill, New York.

Torrance, E. P. (1962): Guilding and Creativity. Prentice Hall, Englewood Cliffs.

Torrance, E. P. (1964): Education and Creativity. In Taylor, C. W. (ed.): Creativity: Progress and Potential. McGraw Hill, New York.

Tóth L. (2000): Pszichológia a tanításban. Pedellus Tankönyvkiadó, Debrecen.

Wallas, G. (1926): The Art of Thought. Harcourt, Brace and World. In Davis, G. A. – Rimm, S. B. (1985): Education of the Gifted and Talented. Prentice Hall Inc., Anglewood, Cliffs, New Jersey.