Nyomtatóbarát változat: Országos Közoktatási Intézet > Új Pedagógiai Szemle 2002 december > Matematika

Matematika

Az iskolai matematikatanítás célja, hogy a megfelelő nevelő, orientáló és irányító funkciók ellátásával lehetőleg hű – ezért egységes, összefüggő – képet nyújtson a matematikáról, nemcsak mint kész, merev ismeretrendszerről, hanem mint sajátos emberi megismerési tevékenységről, szellemi magatartásról. Amellett, hogy alkalmazásra érett ismereteket is nyújt, formálja és gazdagítja az egész személyiséget, érzelmi és motivációs vonatkozásokban is. A matematikatanítás eszközeivel, a matematikai gondolkodás területeinek fejlesztésével emeli a gondolkodás általános kultúráját. Szerepe a matematika különböző arculatainak érvényre juttatása: a matematika mint kulturális örökség, mint gondolkodásmód, mint alkotó tevékenység, mint a gondolkodás örömének forrása, a mintákban, struktúrákban tapasztalható rend és esztétikum megjelenítője, a matematika mint tudomány, mint más tudományok segítője, mint az iskolai tantárgyak segítője, a matematika mint a mindennapi élet és a szakmák segítője.

A fejlesztés kiemelt területei:

A műveltségi terület a matematika különböző témaköreinek szerves összeépülésével kívánja a matematika és a matematikai gondolkodás valóságát feltárni. A matematikai fogalmak, összefüggések érlelése és a gondolkodásmód kialakítása az egyre emelkedő szintű spirális felépítést indokolja az életkori, egyéni fejlődési és érdeklődési sajátosságoknak, a bonyolódó ismereteknek, a fejlődő absztrakciós képességnek megfelelően.

Az általános fejlesztési követelményeket az 1–6. évfolyamra és a 7–12. évfolyamra fogalmazzuk meg. Ezek a tanulók tervezett fejlődésének legfontosabb területeit, szintjeit fogalmazzák meg.

Fejlesztési követelmények

Az alábbiakban azokat a területeket soroljuk fel, amelyek fejlesztését a matematika tanítása során tudatosan terveznünk kell. Ez nem ”mennyiségi", hanem a tanulók tempójának megfelelő minőségi fejlesztés kell hogy legyen. Természetesen nem lehet valamennyi fejlesztési cél mindig egyaránt hangsúlyos. A helyzetnek megfelelően állapítja meg a tanár azokat a fejlesztési tartalmakat, amelyeket egy-egy tevékenység során kiemelten szem előtt kíván tartani. Az első szakaszra (1–6. évfolyam) megfogalmazott követelmények értelemszerűen a második szakaszban (7–12. évfolyam) is érvényesek.

A fejlesztés tartalma

1–6. évfolyam7–12. évfolyam
Motoros képességek
Azoknak a finommotoros mozgáskoordinációknak a fejlesztése, amelyek az apró tárgyak, korongok, pálcikák, rudak rakosgatásához, ceruza, füzet, négyzethálós lap, vonalzó, körző használatához szükségesek.
Papírhajtogatás, vágás, tépés, átdarabolás.
Geometriai transzformációk (forgatás, eltolás, tükrözés) előkészítése a tanuló saját teste és a tárgyak térbeli mozgásaival.
A manipulatív tevékenység előkészítése.
Modellek készítése szabad alkotásként, illetve néhány feltétel alapján. Térbeli modellek készítése feltételrendszer, illetve saját terv alapján.
A megfigyelőképesség fejlesztése
A tapintás, motoros képességek, látás, hallás, szaglás megfigyelő funkciójú felhasználása.  
Azonosság és különbözőség. Azonosnak tekintés és megkülönböztetés különböző kritériumok szerint.
Megkülönböztetés.  
Tárgyak, személyek, dolgok érzékelhető tulajdonságainak felismerése, válogatás közös és eltérő tulajdonságok alapján. Azonosnak tekintéshez és különbözőnek tekintéshez a kritériumok önálló megválasztása.
A figyelem fejlesztése
A figyelem terjedelme.  
A figyelem tartóssága.  
Az akaratlagos figyelem.  
Célirányos figyelem.  
Egy szempont követése.  
Két szempont egyidejű követése.  
Megosztott figyelem.  
A saját akaratlagos figyelem szintjének ismerete.  
A saját akaratlagos figyelem fejlesztésének megtanulása.  
A kommunikációs képességek fejlesztése

A nyelvi kommunikáció

A köznyelv és a matematikai nyelv különbözőségének és értékeinek elfogadása.
  A definíció szerepe a kommunikációban.
A matematika tanulásához szükséges nyelvi-logikai szerkezetek megismerése.
Saját jegyzetfüzet vezetése. Önálló jegyzetelés.
Saját jegyzetfüzetből a történés visszaidézése.  
Matematikai jellegű történés szóbeli elmesélése.
Egyszerű szóbeli érvelés. Szóbeli érvelés.
Egyszerű írásbeli érvelés. Írásbeli érvelés.
Szituációról matematikai szöveg írása (az osztály közösen).
Egyszerű matematikai szöveg értelmezése. Matematikai szöveg értelmezése.
Egyszerű bizonyítások. A bizonyítás alapgondolata.

Jelek, jelölések használata

Adott számosság képe.  
A számok jelölései.  
A számjegy képe.  
Műveletek jelei, egyéb jelölések.
Numerikus szimbólumok kezelése. Algebrai szimbólumok kezelése.
Függvényekkel kapcsolatos jelölések. Függvényekkel kapcsolatos jelölések.
Diagramok készítése, olvasása. Statisztikai diagramok készítése, olvasása.
  Logikai jelölések.
  Geometriai jelölések.
  A jelölések fontossága.
  Jelölések önálló alkotása.

A kommunikációt segítő technikai eszközök használata

Papír, ceruza használata.
Szerkesztő eszközök.
Táblázatok, kézikönyvek.
Zsebszámológép sokoldalú használata.
  Grafikus zsebszámológép sokoldalú használata.
Személyi számítógép sokoldalú használata. Személyi számítógépek használata egyes matematikai témakörökben.

A számrendszeres írásmód

A csoportosításos összeszámlálás.
A számrendszer mint számírásmód.
  A helyi érték szerinti írásmód alkalmazása algebra feladatokban is.
  Véges szakaszos és végtelen szakaszos tizedes törtek.
  Nem szakaszos tizedes törtek.
  Számok egyértelmű alakja tizedes törtként.
A tizedes törtes írásmód.  
Nem tízes alapú számrendszerek alapgondolatának előkészítése tevékenységgel. Nem tízes alapú számrendszerek alapgondolata.
A számrendszeres írásmód szerepe a számtani műveletek írásbeli algoritmusaiban.
Az emlékezet fejlesztése
Motoros memória.
Motoros memória elmozdulásokkal, irányokkal kapcsolatban.
Vizuális memória képekkel kapcsolatban.
Vizuális memória jelekkel, jelölésekkel kapcsolatban.
Képek, jelek, jelölések felidézése.
Ritmus felidézése.
Verbális memória.
Módszerek és folyamatok felidézése.
Minták, szerkezetek felidézése.
  Szabályok, rendszerek felidézése.
  Egyedi és általános fogalmak felidézése.
A tanulás asszociációkkal való társítása.
Tanulás jegyzetelés segítségével.
Egyszerű érvelési folyamat reprodukálása. Matematikai bizonyítás reprodukálása.

A megértés eszközei

Közlés tartalmának felfogása.  
Ismert tartalmú utasítás megértése.  
Új helyzetben kapott utasítások megértése.  
Szóban kapott szöveges feladat megértése.  
Megértés lejátszással.  
Megértés kirakással.  
Megértés tárgyhű rajzzal.  
Megértés leegyszerűsített rajzzal.  
Adatok szerepének értése.  
Összefüggések keresése.  
Lényegtelen adatok elhagyása.  
Lényeges adatok kiemelése.  
Adatok jelölése.  
Kapcsolatok jelölése.  
A kapott feladat átfogalmazása.  
Írásban kapott szöveges feladat megértése.  
Numerikus szimbólumok kezelése.  
Numerikus szimbólumoknak megfelelő összetett operátorok, illetve szóbeli kifejezések.
Átkódolás más modellbe.  
Átkódolás matematikai modellbe.  

Ismeretszerzési és -feldolgozási képességek, fogalmi gondolkodás

Egyéni tapasztalatok és modellek.
Általános tapasztalatok és univerzális modellek (pl. ujjszámolás).
Az újabb tapasztalatok visszarendezése az előfogalmakhoz. Az újabb tapasztalatok visszarendezése az előfogalmakhoz, fogalmakhoz.
Egyszerűbb probléma áttekintésének képessége. Összetett probléma áttekintésének képessége.
Kérdések megfogalmazása egy problémával kapcsolatban.
A probléma részekre bontása. A probléma részproblémákra bontása.
A rendszerezés módszere.  
  A problémához hasonló egyszerűbb probléma keresése.
Az eredeti szituációból problémamodell készítése.
A probléma modellhez illeszthető matematikai modell választása.
  Válogatás a problémához illeszkedő mate­matikai modellek közül egyéb feltételek alapján.
Megoldási terv készítése. Összetett problémák esetében megoldási terv készítése.
Megoldási terv kivitelezése.
A kapott eredmény ellenőrzése a modellben.
A kapott eredmény értelmezése az eredeti problémaszituációra.
Generalizáló absztrakció (megnevezett számból természetes szám, egységtört stb. fogalom alakulása). Generalizáló absztrakció (természetes szám, törtszám, egész szám, racionális szám, valós szám, egyenlet, egyenlőtlenség stb.).
Idealizáló absztrakció egyszerű esetekben (kör, háromszög, négyszög). Idealizáló absztrakció (pont, egyenes, sík, tér stb.).
Folyamat fordított lejátszása.
Egyszerű gondolatmenet megfordítása.  
  Állítások megfordítása.
Sejtések megfigyelése.
Sejtések megfogalmazása.
A definiáló gondolkodásmód alakítása.
Tudás, képességelemek koordinálása.
Stratégiák, stratégia szintű képességek
Matematikai játékok lejátszása.
Stratégiai játékok lejátszása.
Nyerő stratégia megsejtése.
  Nyerő stratégia keresése.
  Stratégiák érvelésen alapuló összehasonlítása.

Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás

A saját értékek ismerete.
A saját korlátok ismerete.  
Technikák megismerése ezek kompenzálására.
Az érzelmi reakciók és kontrollálásuk.
Motivációk és az önmotiválás.
Önbizalom.
A saját részképességek ismerete és adott pillanatban való elfogadni tudása.
Kérdések megfogalmazása. Gondolatmenet, fogalom ”homályos" pontjainak detektálása és kérdésekkel való pontosítása.
Az önellenőrzés.
Magunk által ellenőrzött munkavégzés.
Pontos munkavégzés.
Monotóniatűrés.
Ritmusismétlés, ritmustartás, ritmusképzés.
Kitartó munkavégzés.
A saját ötlet ”eldobásának" képessége.
Az ”újrakezdés" képessége.
A szorongáson úrrá lenni tudás képessége.
A kudarctűrés fejlődése, és a kudarcból ”felállni tudás" képessége.
Megnyilatkozni tudás olyan helyzetben, amikor ”mindenki rám" figyel.
Tervszerű munkavégzés.
Önálló munka.
Önfegyelem.
Mások érvényesülésének engedése.
Saját elsőbbség kivívása.
Az emlékezőképesség fejlesztésének megtanulása.
Kritikai érzék.
Egyéni felelősség.
Ítélőképesség.
Döntés.
Adott sémákhoz igazodó gondolkodás képessége.
Sémákat elvetni tudó gondolkodás képessége.
Az a képesség, hogy ugyanannak a dolognak, jelenségnek sok oldalát akarja és tudja megfigyelni.
Szervezőképesség.
Tolerancia.
Kíváncsiság.
A kollektív munkavégzés képessége.
A munka esztétikája iránti érzék.
A munka etikája iránti érzék.
Egyszerű kutatómunka végzése. Egyéni kutatómunka végzése.
Együttműködés
Páros munka végzése.
Csoportmunka végzése.
Kooperatív munka végzése.
Projektben való közreműködés.
  Közös munka tervezése, szervezése.

Tájékozódás az időben, az időt figyelembe venni tudó gondolkodás

A ciklikusként átélt idő (nappal-éjszaka; tavasz-nyár-ősz-tél) lineáris időfogalomként kezelni tudása.
Múlt, jelen, jövő fogalmak alakítása.
Időpont és időtartam megkülönböztetése.
Az időszalag.
Naptár. Különböző kultúrák időmérése.
Az időmérés különböző elvi alapjainak megértése.
Időzónák.
Az időérzék fejlesztése.

Tájékozódás a térben, térbeli gondolkodás

Tájékozódási lehetőségek, a tájékozódást segítő eszközök használata.  
Tájékozódás képessége saját testhez képest, terembeli elhelyezkedés szerint, saját testen kívüli nézőponthoz képest.  
Testi dominanciához a megfelelő (bal, jobb) szavak megjegyzése, dominancia hiányában saját testi jelhez kötött elnevezés megtanulása.  
Tájékozódással kapcsolatos motoros memória fejlesztése. Más útvonalon eljutni ugyanoda, tudni ugyanazon az útvonalon visszafelé jönni.
Milyen adatokra, eszközökre van szükségünk, ha egy tervezett útvonalon akarunk haladni?
Milyen adatokra, eszközökre van szükségünk, ha meg akarjuk határozni, hogy a Föld melyik pontján vagyunk?
A hosszúság fogalom kezelése.
A megegyezés megértése, hogy mit neveznek két alakzat távolságának.
A szög dinamikus fogalma (elfordulás).
A szög statikus fogalma.
A ”lent-fönt", ”bal-jobb", égtájak, megegyezések kezelése.  
Az arányérzék alakulása.
Térképvázlat készítése, olvasása.
Térképkészítési elvek megértése.
Becslési módszerek.
Az összehasonlítási módszerek, döntések.
  Térbeliség ábrázolása két dimenzióban.
  Vázlatrajz alapján a térbeliséget kifejező szöveg megfogalmazása.
  Szövegről térbeliséget ábrázoló vázlatrajz készítése.

Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban

Diszkrét mennyiségek kezelése.  
Folytonos mennyiségek kezelése.  
Statikus mennyiségi viszonyok. Dinamikus mennyiségi viszonyok.
Statikus folyamatok mennyiségi leírása. Dinamikus folyamatok mennyiségi leírása.
Minőségi és mennyiségi jellemzők megkülönböztetése.
Miért mérünk?
Mit mivel mérünk?
Közvetlen összemérés, közvetett összemérés.
Mértékegység szükségessége.
Síkszög mérése szöggel (fok).
  Síkszög mérése hosszúsággal (radián).
Pontos számok, közelítő számok.
Mérési hiba.
  A hiba ”kezelésének" tudása.
  Mely probléma megoldása milyen nagyság­rendű hibát enged meg. (Pl. milyen felada­tokban szükséges a p két-három stb. tize­des jegy pontosságra kerekített értékével számolni?)
Nagyságrend. Számok nagyságrendje.
Milyen pontosan mérünk.
Az egységes mértékrendszer szükségessége.
A matematikatanulás során alkalmazott gondolkodásmódok
Intuíció.
Analógiás gondolkodás.
Logikus gondolkodás.
Valószínűségi gondolkodás.
  Heurisztikus.
  Axiomatikus gondolkodás.
A problémamegoldó gondolkodás fejlesztése
Helyzetben adott probléma felismerése, tudatosítása, megfogalmazása.
A probléma megértése (heurisztikus).
A szöveg (szövegösszefüggés) szerepe.
Séma alapú gondolkodás.
Sémát elvetni tudó gondolkodás.
Konvergens gondolkodás.
Divergens gondolkodás.
A probléma elemzése.  
A problémamegoldás folyamatának tervezése. Stratégia alkotása.
 
A modellalkotás, modellalkalmazás fejlesztése
Problémához illeszthető modellek választása, alkotása.
Az egyes modellek jóságának elemzése.
Probléma megfogalmazása: ”tálalása".
Konstrukciók, szabad alkotások
Számok konstruálása adott feltételeknek megfelelően.
Geometriai konstrukciók testekből való építéssel.
Szabad alkotások.
  Alkotó gondolkodás, kreatív magatartás, cselekvés.
Geometriai konstrukciók feltételeknek megfelelően.
Geometriai konstrukciók adott konstrukciós készlet segítségével.
Rajzolások hálós papíron.
Fonalszerkesztések.
Szerkesztő eszközök.
Szerkesztések adott kötöttségekkel.
  Az euklideszi szerkesztés.
Transzformációk konstruálása.
Geometriai konstrukciók rajzzal.
Új problémák alkotása, kérdések felvetése.

A fejlesztés eszközei

1–12. évfolyam
Tevékenységek

Tájékozódó tevékenységek

Felismerés; követés.

Azonosítás, megkülönböztetés, osztályozás, rendezés, tulajdonságok, relációk tudatos kiemelése.

Értelmezés megmutatással, eljátszással, ábrázolással, más szavakkal; példákkal, ellenpéldák keresésével, modell segítségével.

Megerősítés, elhanyagolás.

Alkotó tevékenységek: szabad alkotások; alkotások adott céllal, adott kötöttségek, feltételek szerint

Objektumok alkotása: szám, alakzat, művelet, eszköz, ábra, modell, ítélet, sejtés, kiterjesztés, általánosítás, specializálás, példa alkotása; gondolatmenet alkotása.

Sorozatok, függvények alkotása (mért, számlált, számolt adatok alapján; adott szabály szerint, adott probléma modelljeként).

Összességek (halmazok) létrehozása.

Rendszerek alkotása.

Struktúrák alkotása (felsőbb szinten).

Ellenőrző, értékelő tevékenységek

Megfeleltetés a mintának, valóságnak; feltételeknek, állításnak; saját elképzelésnek.

Mindennapi és matematikai állítások igazságának eldöntése.

Próba végzése; próba megtervezése.

Kísérlet tervezése, kivitelezése, értékelése.

Alkalmazó tevékenységek

Problémát kezelő, megoldó tevékenységek

Kutató tevékenységek

Matematikai módszerek megismerése és alkalmazása

Aritmetikai módszer

Algoritmusok

Algebrai módszer

Geometriai módszer

Koordinátageometriai módszer

A matematikai analízis módszere

Valószínűségi módszerek

Statisztikai módszer

A matematika tudományának módszerei

A matematika fejlődése és szerepe

Az írásbeli algoritmusok mint a számrendszeres írásmódot és a 20-as, illetve100-as számkörben való fejszámolás képességét akárhányjegyű számmal való aritmetikai művelet végzésére kiterjesztő emberi alkotások.

A matematika alakulásának gazdasági és kulturális gyökerei.

A matematika és a zene, költészet, művészetek összekapcsolódása.

Fogalmak, tételek története.

A matematika kultúrtörténeti fordulópontjainak megértése (pl. a pitagoreus iskola összeomlása).

A matematika mint megismerési és gondolkodási módszer.

A matematikatudomány épülésének elvei (pl. a permanenciaelv).

Az egyre fokozódó matematikai szigorúság kérdésköre.

A sejtés és tétel kapcsolata.

A bizonyítás szerepe.

Definíciók, tételek.

Gyakran előforduló bizonyítási típusok.

A matematika szerepe a természettudományokban, a társadalomtudományokban.

A hatványozás megjelenése a fizikai, biológiai, folyamatokban.

A geometriai és a fizikai vektor különbözősége.

A logaritmus függvény szerepe a fizikában, kémiában.

A kombinatorika, valószínűség, topológia szerepe a genetikában.

A matematika néhány alkalmazásának megismerése.

Matematika a háztartásban.

A matematika ”észrevevése" néhány szakmai alkalmazásban.

Matematikatörténeti problémák.

Valóságból vett problémák megoldása.

Matematikai modellek

1–6. évfolyam7–12. évfolyam

A tevékenység, kép mint modell

A szám mint modell

Megnevezett számok kezelése.
A természetes szám mint darabszám kezelése.
A természetes szám mint mérőszám kezelése.
A természetes szám mint jel kezelése (villamos száma, telefonszám stb.).
A természetes szám mint értékmérő kezelése (pénz esetében).
Sorszám kezelése.
Egységtört kezelése.
A tört számként való viselkedésének megérzése.
Negatív szám kezelése.
Egész szám kezelése.
  Racionális szám kezelése.
  Néhány valós szám kezelése.
  Az összemérhetőség gondolatköre.
  Annak megértése, hogy mit jelent az, hogy a négyzet oldalának és átlójának aránya nem racionális szám.

Számfeladat, művelet mint modell

Az aritmetikai műveletek. A műveletek tulajdonságainak szerepe.
  Újabb műveletek.
  A művelet fogalmi értése.

Reláció, függvény, nyitott mondat mint modell

Egyenlet-egyenlőtlenség mint modell

Ábra, diagram mint modell

Szakaszos ábrázolás távolság jellegű adatok megjelenítésére.
Szakaszos ábrázolás nem hosszúság jellegű adatok megjelenítésére.

Koordinátarendszerek

A számegyenes.  
Függvények ábrázolása párhuzamos egye­nes-páron.  
Derékszögű koordinátarendszer.  
Függvények ábrázolása derékszögű koordinátarendszerben.  
Derékszögű koordinátarendszer síkban és térben.  
Helymeghatározás a gömbfelületen.  
  A koordinátamódszer alkalmazása.

Geometriai modellek

Determinisztikus és véletlentől függő jelenségek kezelése

Valószínűségi modellek

Kombinatorikai modellek

Leképezések mint modellek