MINŐSÉG ÉS MÉRÉSÜGY
 

Az SI-egységek többszöröseinek és törtrészeinek képzéséhez használt prefixumok

  A Nemzetközi Mértékegység-rendszer (közismert nevén az SI) bevezetésekor számos szakmai cikk, tanulmány, sőt még könyv is foglalkozott a mértékegységekkel, de jóval kevesebb figyelmet szenteltek az úgynevezett prefixumoknak. A téma felelevenítése azért időszerű, mert újabban ezen a területen is vannak bizonyos újítási törekvések, és mert a hazai metrológiai gyakorlatnak a prefixumok körét érintő változásokat követnie kell.

A nemzetközi mérésügyi szervezet Mértékegységek Tanácsadó Bizottsága terjeszti elő a prefixumokra vonatkozó javaslatokat, és azok elfogadásáról az Általános Súly és Mértékügyi Értekezlet dönt. A prefixum latin szó, magyar megfelelője: előtétszó vagy előtag. A Magyar Tudományos Akadémia állásfoglalása és a mérésügyről szóló 1991. évi XLV. törvény, mint hiteles forrás alapján a műszaki nyelvben nem a magyar megfelelők valamelyikét, hanem az eredeti latin szót használjuk.

A prefixum fogalma nem szerepel a Nemzetközi Metrológiai Értelmező Szótárban, mert a matematika ismert fogalmaival jól meghatározható. Az SI-prefixumok 10-es alapú, egész kitevőjű hatványok amelyekkel az SI-egységek többszörösei és törtrészei képezhetők. A többszörösek a pozitív, a törtrészek pedig a negatív egész kitevőjű, 10-es alapú hatványoknak a megfelelő mértékegységekkel képezett szorzatai.

Bevezetőben talán nem felesleges feleleveníteni a témához kapcsolódó néhány fogalmat.

J. C. MAXWELL nyomán egy mérhető mennyiség értéke vagy nagysága a számérték és a mértékegység szorzataként adható meg, azaz:

[a mennyiség értéke] = [számérték]*[mértékegység]

A Nemzetközi Metrológiai Értelmező Szótár a Maxwell-féle összefüggésben szereplő fogalmak pontos meghatározását adja. A meghatározásokat szó szerint közöljük, és zárójelben feltüntetjük az adott fogalom szótárbeli sorszámát is.

A mértékegység és az egység szó egyaránt használható. A mértékegység szó ma  már kissé elavultnak tűnik, és akkor volt helyénvaló, amikor az egységeket kizárólag mértékekkel valósították meg. Számos nyelv a „mérésegység” kifejezést használja (angolul: unit of measurement), de voltaképpen a mennyiség egységéről van szó. Az egység szó rövidebb, használata elterjedőben van, és ezért ajánlható. Ebben a cikkben a szó mindkét változata előfordul.

A (mérhető) mennyiség jelenség, tárgy vagy anyag minőségileg megkülönböztethető és mennyiségileg meghatározható tulajdonsága [1.1]. A mennyiség értéke valamely konkrét mennyiség nagyságának kifejezése egy szám és egy egység szorzataként [1.18]. A mérőszám egy mennyiség értékének és az érték kifejezésében használt egységnek a hányadosa [1.21].Az egység (mértékegység) megállapodás alapján elfogadott és definiált konkrét mennyiség, amellyel az ugyanolyan fajtájú más mennyiségek az e mennyiséghez viszonyított nagyságuk kifejezése céljából összehasonlíthatók [1.7]. A mértékegység többszöröse nagyobb egység, amelyet adott egységből a skálára vonatkozó megállapodásoknak megfelelően képeznek [1.16]. A mértékegység törtrésze kisebb egység, amelyet adott egységből a léptékre (skálára) vonatkozó megállapodásoknak megfelelően képeznek [1.17].

Az előbbieket egy példával is megvilágítjuk. A hosszúság jele: l, egysége az SI-ben a méter (jele: m). Ha a mérőszám 2, akkor az adott hosszúság értéke az SI egységgel kifejezve:

l = 2m.

Előtörténet

A Méterrendszer bevezetése előtt a fizikai mennyiségek igen nagy vagy igen kicsi értékeinek a kifejezéséhez önálló névvel ellátott, egymáshoz nem tizes arányban viszonyuló mértékegységeket alkalmaztak. Az angolszász mértékegységek körében például 1 yard = 3 láb, 1 láb = 12 hüvelyk.

A hüvelyk (angolul: inch) és a láb (angolul: foot) mértékegység nevek antropomorf eredetűek. (Az antropomorf magyarul „emberi alakú”-t jelent, a mértékegységek kapcsán pedig arra utal, hogy ezek az angolszász mértékegységek az emberi test méreteihez kapcsolódnak.) Az átszámítási tényező azonban éppen olyan megállapodással elfogadott érték, mint maguk a mértékegységek.

Az egységek többszöröseinek és törtrészeinek a megjelenése a Méterrendszer bevezetésével egyidős. A Méterrendszer elsőként Franciaországban vált törvényessé (1793-1795); vele együtt az 1. táblázatban felsorolt prefixumok „nyertek polgárjogot”:

1. táblázat. A Méterrendszer keretében elfogadott prefixumok

A prefixum A prefixum 
jele
A prefixum
Neve értéke eredete jelentése
kilo 103 k görög "ezer"
hekto 102 h görög "száz"
deka 101 da görög "tíz"
deci 10-1 d latin "tíz"
centi 10-2 c latin "száz"
milli 10-3 m latin "ezer"

 

A táblázatban szabályosság nyomai fedezhetők fel. Az egyik ilyen szabályosság, hogy a szorzók 10-nek az egymás után következő pozitív és negatív egész számú kitevőkkel képezhető hatványai. A másik szabály, hogy a pozitív kitevőjű hatványok neve görög, a negatív kitevőjűeké latin eredetű szó.

A mérési gyakorlat rövid idő elteltével a fenti értékkészlet további bővítését igényelte. Az első prefixum, amely 1860-ban került be a nemzetközileg elfogadott készletbe, a mega prefixum volt. A szó görög eredetű, jelentése: „nagy”. Jele: M. A használatát illető egyetlen kivétel a villamos ellenállás egységével, az ohmmal képezett „megohm” kifejezés, a szabályos „megaohm” helyett.

A mega tükörképének megfelelő, 10-6 értékű prefixum neve a görög mikro szó, jóllehet ez a névválasztás sérti a táblázatból kiolvasható szabályt, mely szerint a 10 negatív egész kitevőjű hatványainak megfelelő prefixumok neve latin eredetű. A mikro szó jelentése: kicsi.

Nem ismerjük a következő két prefixum, a 109 értékű giga és a 10-9 értékű nano prefixum bevezetésének és elfogadásának dátumát. Elnevezésükben a már említett szabályosság újból érvényesül, mert a giga görög eredetű szó, jelentése „óriási”, a nano pedig a latin nyelvből származik és jelentése „törpe”.

Ugyancsak pontosan nem azonosítható időpontban jött létre a tera prefixum. A prefixum értéke 1012, neve görög eredetű, jelentése: „hatalmas”. A tera párja a 10-12 értékű piko. Elnevezése, olasz nyelvi eredete folytán új színfolt a prefixumok palettáján a piko az olasz „piccoló” szó rövidítése, melynek jelentése: „kicsiny”.

A nemzetközi dokumentumokban a mikro és piko prefixumok írásmódja: micro illetve pico. Ebben cikkben, a magyar jogszabályban követett gyakorlatnak megfelelően, a kiejtésük szerint képezett változatokat használtuk.

Az Általános Súly és Mértékügyi Értekezlet 1964-ben fogadta el a 10-15 értékű femto és a 10-18 értékű atto prefixumot. Ez a két név dán eredetű szó, jelentésük „tizenöt” illetve „tizennyolc”. 1975-ben az Értekezlet két további prefixum elfogadásával tette szimmetrikussá és egyben teljessé a készletet. Ezek: a 1015 értékű peta és a 1018 értékű exa prefixum. Az elnevezések görög szavak, jelentésük „öt” illetve „hat”. Az elnevezés arra utal, hogy ezekben a prefixumokban öt illetve hat „ezres nagyságrend” van. Így például:

 peta = 1015 = 1 000 000 000 000 000 = (103)5.

Ennek a két utóbbi elnevezésnek a logikáját a mértékegység többszöröse és törtrésze meghatározásában említett, a skálára vonatkozó megállapodás alapozza meg. Az 1975. évi prefixum-készletet táblázatban mutatjuk be:


 2. táblázat.  A prefixumok 1975. évi készlete

Szorzó Prefixum Jel Szorzó Prefixum Jel
1018 exa E 10-1 deci d
1015 peta P 10-2 centi c
1012 tera T 10-3 milli m
109 giga G 10-6 mikro m
106 mega M 10-9 nano n
103 kilo k 10-12 piko p
102 hekto h 10-15 femto f
101 deka da 10-18 atto a

Ez az 1975-ös prefixum-készlet található a mérésügyről szóló 1991.évi XLV. törvény mellékletében. A Mérésügyi Közlemények 1999. február 3-án kiadott 5. különszáma az azóta bekövetkezett legutóbbi módosítást is tartalmazza, megkülönböztethető szerkesztésben. A 19. Általános Súly- és Mértékügyi Értekezlet (CGPM) 1991-ben fogadta el a 3. táblázatban bemutatott további prefixumokat. Érdekes, hogy a yotta, amelynek természetesen nincs semmi köze a magyar nyelvhez, a mi egyik szólásunkkal („Jottányit sem engedni valamiből”) szögesen ellentétes értelmű, mivel a yotta prefixummal képezett egység igen nagy!

 

3. táblázat. A prefixumok körének legutóbbi kiterjesztése

Szorzó Prefixum jel Szorzó Prefixum jel
1021 Zetta Y 10-21 zepto z
1024 Yotta Z 10-24 yocto y

A 2. és 3. táblázatok együtt adják a prefixumok ma érvényes, nemzetközileg elfogadott készletét. Ezekből a táblázatokból kitűnik a prefixumok skálatörvénye, nevezetesen az, hogy két szomszédos prefixum értéke egy ezres szorzótényezőben tér el egymástól. Más szóval ezt úgy is kifejezhetjük, hogy a prefixumok értékének általános „képlete: 10±3k, ahol k = 1,2,3,…

Néhány prefixum kivételt képez e szabály alól. Összesen négy ilyen kivételes prefixum van, amelyek használata azonban csak bizonyos mértékegységek esetében ajánlott. A kivételes esetek száma tíz, ezeket a 4. táblázat mutatja be.

4. táblázat. Kivételes prefixumok és alkalmazásuk esetei

mértékegység jel
 hektoliter  hl vagy hL
 hektopascal  hPa
 dekagram  dL
 deciliter  dl
 deciméter  dm
 centiméter  cm
 centigramm  cg
 centiliter   Cl vagy cL
 centigray  cGy
 centisievert  cSV

Miért volt célszerű alkalmazni a skálatörvénynek meg nem felelő prefixumokat?

A választ egy gyakorlati példával adjuk meg. Ha a hosszúság egységéhez, a méterhez, és a hosszúságból származtatott terület (négyzetméter, m2) és térfogat (köbméter, m3) egységéhez csak a kilo és milli prefixumokat alkalmazhatnánk, akkor például a terület nagyságát csak a következő egységekkel fejezhetnénk ki:

1 km2 = 1 x (1000 m)2 = 1 x 106 m2

1 m2 = 1 x (1000 mm)2 = 1 x 106 mm2.

Következésképpen a rendelkezésünkre álló többszörösekkel és törtrészekkel kifejezhető nagyságok milliós nagyságrendben különböznének egymástól. Nem nehéz belátni, hogy a helyzet térfogatmérés esetében még kedvezőtlenebb lenne. 1 mm3 gombostűfejnyi térfogat, 1 km3 viszont már csak a Balaton térfogatának kifejezéséhez lenne alkalmas többszörös.

A kilométer és a kilogramm

Ebben a cikkben csupán a prefixumokkal összefüggő kérdéseket tárgyaljuk, és nem foglalkozunk a mértékegység-rendszer vagy a mértékegységek kérdésével. Ennek a fejezetnek sem az a célja, hogy a kilométerről és a kilogrammról adjon részletes tájékoztatást. Ez a két mértékegység azért érdemel mégis különös figyelmet, mert a Nemzetközi Mértékegység-rendszer szempontjából helyzetük és szerepük teljesen eltérő.

Minden mértékegység-rendszer létrehozásakor alapelv, hogy a rendszerben minden mennyiségnek egy és csak egy egysége legyen. Az SI kapcsán ezért kezdődnek úgy az alapegység-definíciók, mint például: „A hosszúság mértékegysége a méter. Jele: m”. A meghatározás nem úgy hangzik, hogy a hosszúság egyik mértékegysége a méter. Logikus tehát az a következtetés, hogy a hosszúság mértékegységének többszörösei és törtrészei nem SI-egységek. Ha például a kilométert SI-egységnek tekintenénk, azonnal megszűnne a rendszer elemeinek összhangja (koherenciája). Ez az összhang (koherencia) az SI egyik legfontosabb tulajdonsága. Egy egységrendszer akkor van összhangban (koherens), ha a mennyiségegyenlet és az illető egységekre vonatkozó számérték-egyenlet alakilag megegyezik. Összhangban lévő (koherens) egységrendszer esetében a mennyiségegyenletbe elegendő a számértékeket beírni, mert az eredmény egységét már eleve tudjuk.

Abból az elvből tehát, hogy az egységrendszeren belül egy mennyiségnek egy és csak egy egysége lehet, az következik, hogy a prefixum alkalmazása a mértékegységet „kivezeti az SI köréből”.

Ezzel is magyarázható, hogy szükség van a törvényes mértékegység fogalomra. Törvényes mértékegység az, amit a nemzeti jogszabály törvényesként elismer és elfogad. Más szempontból közelítve a kérdéshez, a törvényes mértékegységek köre magába foglalja az SI-egységeket, de annál szélesebb. Magyarországon törvényes mértékegységek: 1. az SI-egységek; 2. az 1991. évi XLV. törvény mellékletében meghatározott, SI-n kívüli mértékegységek; 3. Az SI-egységekből és az SI-n kívüli törvényes mértékegységekből képezett mértékegységek és 4. a törvényes prefixumokkal képezett többszörösek és törtrészek.

Nem helyes tehát a törvényes mértékegység fogalmát az SI-egység fogalmával azonosítani.

A kilogramm a tömeg mértékegysége az SI-ben, és egyúttal alapmennyiség is. A kilogrammot azért választották alapegységnek az SI-ben, hogy a rendszer megőrizze elődje, az MKSA (méter-kilogramm-másodperc-amper) rendszer értékes tulajdonságait. A tömeg egysége – hasonlóképp néhány más alapegységhez – „emberi léptékű” maradt. Ezt úgy kell érteni, hogy a mindennapi életben leggyakrabban használt mértékegységek többé-kevésbé az emberre szabottak: az emberi test tömege általában néhányszor tíz kilogramm, széttárt karjainak fesztávolsága a méter nagyságrendjében van, két szívdobbanás között másodpercnyi idő telik el.

Ennek a kivételes alapegység választásnak természetes következménye az, hogy a prefixum nélküli gramm nem SI-egység.

Újabb prefixumok?

A prefixumok jelenleg 10-24-től 1024-ig terjednek. A Nemzetközi Súly-és Mértékügyi Bizottság Mértékegység Tanácsadó Bizottságának elnöke, 1998. március 2-án az SI prefixumok újabb kiterjesztésére vonatkozó javaslatot küldött a Bizottságnak. A javaslat szerint a prefixumok tartománya a jelenleginek a kétszeresére bővülne, azaz a tartományhatároknak a 10-48 és a 1048 hatványok felelnének meg.

A jelenlegi prefixumok nem kötelezőek, hanem ajánlottak. Törvényes (kötelezően és kizárólagosan alkalmazandó) prefixumokról csak a nemzeti szabályozás szintjén lehet beszélni. Ugyanez vonatkozna természetesen a kiterjesztéssel létrejövő új prefixumokra is.

A javaslat három ajánlásból áll:

Az első ajánlás az, hogy az új prefixumok 103-os lépésekben fedjék le a 10-48 és 10-24 közötti, illetve a 1024 és 1048 közötti tartományokat, megtartva a már megismert léptékszabályt. A többszörösek neve nagybetűvel kezdődjön és „a”-val végződjön. A törtrészek neve kisbetűvel kezdődjön és „o”-val végződjön.

A második ajánlás azt az igényt fogalmazza meg, hogy a új prefixumok rendszere legyen egyszerű, következetes és legyen könnyű azokat emlékezetben tartani.

A harmadik ajánlás táblázatos formában mutatja be és ajánlja a tizenhat új prefixumot.

Ennek a cikknek a megírásakor még ismeretlen a javaslat sorsának további alakulása. A javaslattevő megindokolja ajánlásait, és felvázolja a javaslattal szemben megfogalmazott vagy várható ellenvetéseket is.  

5. táblázat. Javasolt új prefixumok

Szorzótényező A prefixum neve A prefixum jele Szorzótényező A prefixum A prefixum jele
 1027=(103)9 Kilotta Ka  10-27=(103)-9 milocto mo
 1030=(103)10 Megotta MA  10-30=(103)1-0 micocto mo
 1033=(103)11 Gigotta Ga  10-33=(103)-11 nanocto no
 1036=(103)12 Terrotta Ta  10-36=(103)-12 picocto po
 1039=(103)13 Petotta Pa  10-39=(103)-13 femocto fo
 1042=(103)14 Exotta Ea  10-42=(103)-14 attocto ao
 1045=(103)15 Zetotta Za  10-45=(103)-15 zepocto zo
 1048=(103)16 Yototta Ya  10-48=(103)-16 yococto yo


A javaslat megszületését az indokolja, hogy a tudományos kutatás határai mind a makro- mind a mikrovilágban kitolódtak, és a prefixumok jelenlegi, viszonylag szűk készlete arra bátorítja a kutatókat, hogy nem-SI egységeket használjanak és terjesszenek el. A csillagászok például a tömeg egységeként szívesen használnák a naptömeget, ami közelítőleg 1,9 x 1033 kg-mal egyenlő.

A második ajánlás az elnevezések rendszerében teremtene logikai rendet. Az alapgondolat az, hogy két már elfogadott prefixum, a 1024 –nel egyenlő yotta és a 10-24 –nel egyenlő yocto felhasználásával képezzenek új prefixumokat. Az új prefixum nevek a kilo-tól a yottá-ig terjedő meglévő prefixumoknak az otta illetve octo töredékszavakkal való összevonása útján alakíthatók ki az 5. táblázatnak megfelelően. Az új prefixumok jelölésére kétbetűs összetételeket javasolnak. A 10-36 szorzónak megfelelő prefixum például 10-12 x 10-24, pico x octo, új neve pedig picocto, jele po.

A javasolt megoldás előnyének tekintik, hogy nem mond ellent annak a nemzetközileg elfogadott szabálynak, hogy összetett prefixumok nem képezhetők, ugyanis sem az otta sem az octo nem prefixum-nevek. Az új prefixumok elsajátításához nem szükséges új szavakat megismerni.

A harmadik ajánlás, mint láttuk, mindössze annak a megerősítése, hogy a Mértékegység Tanácsadó Bizottság munkacsoportja az 5. táblázatban felsorolt új prefixumokat, azok elnevezését és jelölését javasolja.

A javaslatban szereplő új prefixumokkal kapcsolatos fontosabb ellenvetések a következők:

1. A prefixumok készlete olyan új tagokkal bővülne, amelyek a gyakorlatban csak igen ritkán fordulnak elő. Egyszerűbb a szélsőséges nagyságokat 10 hatványaiként kifejezni.

2. Azokon a tudományterületeken, ahol ezek a szélsőséges értékek előfordulnak - például a csillagászatban - többnyire amúgy sincs hajlandóság a méter, a kilogramm és a másodperc használatára, tehát ez nem indokolja a bővítést.

3. A természetben előforduló szélsőségesen nagy vagy kicsiny értékek nem feltétlenül illeszkednek a 103 lépésközzel megalkotott prefixum-értéksorba, ezért kifejezésükre a tetszőleges tízes alapú hatványok alkalmasabbak.

4. A 103-os lépésköz megtartása oda vezethet, hogy lesznek gyakorlatilag sohasem alkalmazott prefixumok, mert a létező világban nem fordulnak elő olyan nagyságok, amelyekhez az adott prefixum hozzárendelhető lenne. Ebben az esetben a prefixum olyan szóvá értékelődik le, amelyet soha ki nem ejt és le nem ír senki. Ez a gondolatmenet oda vezet, hogyha a prefixumok tartományának kibővítését illetően egyetértés alakul ki, akkor célszerű lenne újra átgondolni a skálaképzés jelenlegi alapelvét, és a tartomány-széleken esetleg nagyobb lépésközt alkalmazni.

5. Apró szépséghiba, hogy az 5. táblázatban felsorolt prefixumok jelölésmódja nem teszi lehetővé a milocto és a micocto megkülönböztetését. Ugyancsak nem szerencsés a két magánhangzóból képezett jelölés, pl. az Exotta (Ea) és az attocto (ao), ahol szóbeli közlés esetén a kiejtési különbségek komoly zavarokat okozhatnak.

Egy ujabb lehetőség:

A CCU elnökének levele alternatív javaslatot is tartalmaz, melyet az Amerikai Fizikatanárok Egyesülete dolgozott ki. A javaslat a prefixumokat 10-42 illetve 1042 határokig terjeszti ki. Az elképzelés azért figyelemre méltó, mert csupán két nem is új „szó”, a zetta és a zepto átértelmezését, és az összetett prefixumok használatára vonatkozó tilalom feloldását igényli.

Felhasználva a már korábban végrehajtott bővítés eredményét, amely szerint a 10-21 -nek megfelelő prefixum neve, a zepto és a 1021-nek megfelelőé a zetta egyaránt z-betűvel kezdődik, ami a legtöbb élő nyelv ábécéjének utolsó betűje, a javaslat a z-t valamiféle természetes lezáró pontnak tekinti. Megengedve az összetett prefixum képzését, a kombinálás lehetőségét a z-re (zepto-ra) illetve a Z-re (zetta-ra) korlátozza. A megfelelő legkisebb és legnagyobb prefixum ennek megfelelően a zeptozepto (10-42) és a zettazetta (1042). A képzési szabály egyszerű: például

1 kilozetta = 1 kZ = (103 x 1021) = 10(3+21) =1024.

1 nanozepto = 1 nz =10-9 x 10-21 = 10-(9+21) = 10-30.

 A javasolt prefixumok értékét, nevét és jelét a 6. táblázat tartalmazza:

6. táblázat. Alternatív javaslat az SI prefixumok kiterjesztésére

Érték Név Jel Érték Név Jel
1024 kilozetta kZ 10-24 Millizepto Mz
1027 megazetta MZ 10-27 Mikrozepto Mz
1030 gigazetta GZ 10-30 Nanozepto nz
1033 terrazetta TZ 10-33 Pikozepto pz
1036 petazetta PZ 10-36 Femtozepto fz
1039 exazetta EZ 10-39 Attozepto az
1042 zettazetta ZZ 10-32 Zeptozepto zz

 

Az elgondolás kétségkívül érdekes. Nem nagyon valószínű azonban, hogy az itt bemutatott újítási törekvések bármelyike a közeli jövőben nemzetközileg is elfogadottá válna.

 

BÁNKUTI LÁSZLÓ

Irodalom:

[1] Terrien J.:Is the SI the best System? (Kézirat, Varenna, 1976)
[2] Burdun G. D.: Bevezetés az SI-be (Moszkva, 1980)
[3] A Metrológiai alapfogalmak nemzetközi értelmező szótára (ISO,1993)
[4] Dr. Fodor György: Mértékegység Kislexikon (Magvető, 1971)


A laprendszer készítője: UFE Bt.